ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( (3 — x)^3(x + 2)^2(x — 1)(2x — 5) < 0 \);

2) \( (x^2 — 4)(x^2 + x — 2) \le 0 \);

3) \( (x^3 — 4x)(x^2 + 2x — 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0 \)

Решить неравенство:

1) \( (3 — x)^3(x + 2)^2(x — 1)(2x — 5) < 0 \);
\( (3 — x)(x + 2)^2(x — 1)\cdot 2(x — 2{,}5) < 0 \);
\( — (x — 3)(x + 2)^2(x — 1)(x — 2{,}5) < 0 \);
\( (x + 2)^2(x — 1)(x — 2{,}5)(x — 3) > 0 \);
Ответ: \( x \in (1; 2{,}5) \cup (3; +\infty) \).

2) \( (x^2 — 4)(x^2 + x — 2) \le 0 \);

Второе выражение:
\( x^2 + x — 2 = 0 \);
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \);

Неравенство:
\( (x — 2)(x + 2)(x + 2)(x — 1) \le 0 \);
\( (x + 2)^2(x — 1)(x — 2) \le 0 \);
Ответ: \( x \in \{-2\} \cup [1; 2] \).

3) \( (x^3 — 4x)(x^2 + 2x — 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0 \);

Второе выражение:
\( x^2 + 2x — 8 = 0 \);
\( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \);

Третье выражение:
\( x^2 + 7x + 10 = 0 \);
\( D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-7 — 3}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = -2 \);

Неравенство:
\( x(x — 4)(x — 2)(x + 5)(x + 2) \le 0 \);
\( (x + 2)(x + 4)x(x — 2)(x + 5)(x + 2) \le 0 \);
\( (x + 5)(x + 4)x(x + 2)^2(x — 2)^2 \le 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup [-4; 0] \cup \{2\} \).

Решить неравенство:

1) \( (3 — x)^3(x + 2)^2(x — 1)(2x — 5) < 0 \);

Преобразуем выражение:

\( (3 — x)(x + 2)^2(x — 1) \cdot 2(x — 2{,}5) < 0; \)
\( — (x — 3)(x + 2)^2(x — 1)(x — 2{,}5) < 0; \)
\( (x + 2)^2(x — 1)(x — 2{,}5)(x — 3) > 0; \)

Нули функции: \( x = -2,\, 1,\, 2{,}5,\, 3 \).

Анализируем интервалы, определяем на каких промежутках выражение положительно, на каких — отрицательно. Учитываем, что \( (x + 2)^2 \) всегда неотрицательно, а остальные множители меняют знак в точках \( 1,\, 2{,}5,\, 3 \). Находим, что неравенство выполняется на промежутках \( (1; 2{,}5) \) и \( (3; +\infty) \).

Ответ: \( x \in (1; 2{,}5) \cup (3; +\infty) \).

2) \( (x^2 — 4)(x^2 + x — 2) \le 0; \)

Рассмотрим второе выражение отдельно:

\( x^2 + x — 2 = 0 \)

Находим дискриминант:
\( D = 1^2 — 4\cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

Корни:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \)
\( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

Теперь распишем всё выражение:
\( (x — 2)(x + 2)(x + 2)(x — 1) \le 0; \)
\( (x + 2)^2(x — 1)(x — 2) \le 0; \)

Критические точки: \( x = -2,\, 1,\, 2 \).
Рассматриваем промежутки, определяя знак каждого множителя. Квадрат всегда неотрицателен, остальные множители меняют знак в указанных точках.
Подходит промежуток \( [1; 2] \) и отдельная точка \( x = -2 \), где квадрат обращается в ноль.

Ответ: \( x \in \{-2\} \cup [1; 2] \).

3) \( (x^3 — 4x)(x^2 + 2x — 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0; \)

Второе выражение:
\( x^2 + 2x — 8 = 0 \)

Дискриминант:
\( D = 2^2 — 4\cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)

Корни:
\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \)
\( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)

Третье выражение:
\( x^2 + 7x + 10 = 0 \)

Дискриминант:
\( D = 7^2 — 4\cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \)

Корни:
\( x_1 = \frac{-7 — 3}{2} = -5 \)
\( x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = -2 \)

Раскладываем первое выражение на множители:
\( x^3 — 4x = x(x^2 — 4) = x(x — 2)(x + 2) \)

Все вместе:
\( x(x — 4)(x — 2)(x + 5)(x + 2) \le 0; \)
\( (x + 2)(x + 4)x(x — 2)(x + 5)(x + 2) \le 0; \)
\( (x + 5)(x + 4)x(x + 2)^2(x — 2)^2 \le 0; \)

Рассмотрим все критические точки: \( x = -5,\, -4,\, -2,\, 0,\, 2 \).

Проверяем знак выражения на каждом промежутке, учитываем кратные корни (квадраты при \( x = -2,\, x = 2 \)).
Находим, что неравенство выполняется на промежутках \( (-\infty; -5] \), \( [-4; 0] \) и отдельная точка \( x = 2 \), где выражение также равно нулю.

Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup [-4; 0] \cup \{2\} \).