Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) (3-x)^3(x+2)^2(x-1)(2x-5) < 0;
2) (x^2-4)(x^2+x-2)≤0;
3) (x^3-4x)(x^2+2x-8)(x^2+7x+10)≤0.
Решить неравенство:
1) (3 − x)3(x + 2)2(x − 1)(2x − 5) < 0;
(3 − x)(x + 2)2(x − 1) · 2(x − 2,5) < 0;
−(x − 3)(x + 2)2(x − 1)(x − 2,5) < 0;
(x + 2)2(x − 1)(x − 2,5)(x − 3) > 0;
Ответ: x ∈ (1; 2,5) ∪ (3; +∞).
2) (x2 − 4)(x2 + x − 2) ≤ 0;
Второе выражение:
x2 + x − 2 = 0;
D = 12 + 4 · 2 = 1 + 8 = 9, тогда:
x₁ = (−1 − 3) / 2 = −2 и x₂ = (−1 + 3) / 2 = 1;
Неравенство:
(x − 2)(x + 2)(x + 2)(x − 1) ≤ 0;
(x + 2)2(x − 1)(x − 2) ≤ 0;
Ответ: x ∈ {−2} ∪ [1; 2].
3) (x3 − 4x)(x2 + 2x − 8)(x2 + 7x + 10) ≤ 0;
Второе выражение:
x2 + 2x − 8 = 0;
D = 22 + 4 · 8 = 4 + 32 = 36, тогда:
x₁ = (−2 − 6) / 2 = −4 и x₂ = (−2 + 6) / 2 = 2;
Третье выражение:
x2 + 7x + 10 = 0;
D = 72 − 4 · 10 = 49 − 40 = 9, тогда:
x₁ = (−7 − 3) / 2 = −5 и x₂ = (−7 + 3) / 2 = −2;
Неравенство:
x(x − 4)(x − 2)(x + 5)(x + 2) ≤ 0;
(x + 2)(x + 4)x(x − 2)(x + 5)(x + 2) ≤ 0;
(x + 5)(x + 4)x(x + 2)2(x − 2)2 ≤ 0;
Ответ: x ∈ (−∞; −5] ∪ [−4; 0] ∪ {2}.
Решить неравенство:
1) (3 − x)3(x + 2)2(x − 1)(2x − 5) < 0;
Преобразуем выражение:
(3 − x)(x + 2)2(x − 1) · 2(x − 2,5) < 0;
−(x − 3)(x + 2)2(x − 1)(x − 2,5) < 0;
(x + 2)2(x − 1)(x − 2,5)(x − 3) > 0;
Нули функции: x = −2, 1, 2,5, 3.
Анализируем интервалы, определяем на каких промежутках выражение положительно, на каких — отрицательно. Учитываем, что (x + 2)2 всегда неотрицательно, а остальные множители меняют знак в точках 1, 2,5, 3. Находим, что неравенство выполняется на промежутках (1; 2,5) и (3; +∞).
Ответ: x ∈ (1; 2,5) ∪ (3; +∞).
2) (x2 − 4)(x2 + x − 2) ≤ 0;
Рассмотрим второе выражение отдельно:
x2 + x − 2 = 0
Находим дискриминант:
D = 12 − 4·1·(−2) = 1 + 8 = 9
Корни:
x₁ = (−1 − 3)/2 = −2
x₂ = (−1 + 3)/2 = 1
Теперь распишем всё выражение:
(x − 2)(x + 2)(x + 2)(x − 1) ≤ 0;
(x + 2)2(x − 1)(x − 2) ≤ 0;
Критические точки: x = −2, 1, 2.
Рассматриваем промежутки, определяя знак каждого множителя. Квадрат всегда неотрицателен, остальные множители меняют знак в указанных точках.
Подходит промежуток [1; 2] и отдельная точка x = −2, где квадрат обращается в ноль.
Ответ: x ∈ {−2} ∪ [1; 2].
3) (x3 − 4x)(x2 + 2x − 8)(x2 + 7x + 10) ≤ 0;
Второе выражение:
x2 + 2x − 8 = 0
Дискриминант:
D = 22 − 4·1·(−8) = 4 + 32 = 36
Корни:
x₁ = (−2 − 6)/2 = −4
x₂ = (−2 + 6)/2 = 2
Третье выражение:
x2 + 7x + 10 = 0
Дискриминант:
D = 72 − 4·1·10 = 49 − 40 = 9
Корни:
x₁ = (−7 − 3)/2 = −5
x₂ = (−7 + 3)/2 = −2
Раскладываем первое выражение на множители:
x3 − 4x = x(x2 − 4) = x(x − 2)(x + 2)
Все вместе:
x(x − 4)(x − 2)(x + 5)(x + 2) ≤ 0;
(x + 2)(x + 4)x(x − 2)(x + 5)(x + 2) ≤ 0;
(x + 5)(x + 4)x(x + 2)2(x − 2)2 ≤ 0;
Рассмотрим все критические точки: x = −5, −4, −2, 0, 2.
Проверяем знак выражения на каждом промежутке, учитываем кратные корни (квадраты при x = −2, x = 2).
Находим, что неравенство выполняется на промежутках (−∞; −5], [−4; 0] и отдельная точка x = 2, где выражение также равно нулю.
Ответ: x ∈ (−∞; −5] ∪ [−4; 0] ∪ {2}.
Алгебра
