Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( (3 — x)^3(x + 2)^2(x — 1)(2x — 5) < 0 \);
2) \( (x^2 — 4)(x^2 + x — 2) \le 0 \);
3) \( (x^3 — 4x)(x^2 + 2x — 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0 \)
Решить неравенство:
1) \( (3 — x)^3(x + 2)^2(x — 1)(2x — 5) < 0 \);
\( (3 — x)(x + 2)^2(x — 1)\cdot 2(x — 2{,}5) < 0 \);
\( — (x — 3)(x + 2)^2(x — 1)(x — 2{,}5) < 0 \);
\( (x + 2)^2(x — 1)(x — 2{,}5)(x — 3) > 0 \);
Ответ: \( x \in (1; 2{,}5) \cup (3; +\infty) \).
2) \( (x^2 — 4)(x^2 + x — 2) \le 0 \);
Второе выражение:
\( x^2 + x — 2 = 0 \);
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \);
Неравенство:
\( (x — 2)(x + 2)(x + 2)(x — 1) \le 0 \);
\( (x + 2)^2(x — 1)(x — 2) \le 0 \);
Ответ: \( x \in \{-2\} \cup [1; 2] \).
3) \( (x^3 — 4x)(x^2 + 2x — 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0 \);
Второе выражение:
\( x^2 + 2x — 8 = 0 \);
\( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \);
Третье выражение:
\( x^2 + 7x + 10 = 0 \);
\( D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-7 — 3}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = -2 \);
Неравенство:
\( x(x — 4)(x — 2)(x + 5)(x + 2) \le 0 \);
\( (x + 2)(x + 4)x(x — 2)(x + 5)(x + 2) \le 0 \);
\( (x + 5)(x + 4)x(x + 2)^2(x — 2)^2 \le 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup [-4; 0] \cup \{2\} \).
Решить неравенство:
1) \( (3 — x)^3(x + 2)^2(x — 1)(2x — 5) < 0 \);
Преобразуем выражение:
\( (3 — x)(x + 2)^2(x — 1) \cdot 2(x — 2{,}5) < 0; \)
\( — (x — 3)(x + 2)^2(x — 1)(x — 2{,}5) < 0; \)
\( (x + 2)^2(x — 1)(x — 2{,}5)(x — 3) > 0; \)
Нули функции: \( x = -2,\, 1,\, 2{,}5,\, 3 \).
Анализируем интервалы, определяем на каких промежутках выражение положительно, на каких — отрицательно. Учитываем, что \( (x + 2)^2 \) всегда неотрицательно, а остальные множители меняют знак в точках \( 1,\, 2{,}5,\, 3 \). Находим, что неравенство выполняется на промежутках \( (1; 2{,}5) \) и \( (3; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (1; 2{,}5) \cup (3; +\infty) \).
2) \( (x^2 — 4)(x^2 + x — 2) \le 0; \)
Рассмотрим второе выражение отдельно:
\( x^2 + x — 2 = 0 \)
Находим дискриминант:
\( D = 1^2 — 4\cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \)
\( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)
Теперь распишем всё выражение:
\( (x — 2)(x + 2)(x + 2)(x — 1) \le 0; \)
\( (x + 2)^2(x — 1)(x — 2) \le 0; \)
Критические точки: \( x = -2,\, 1,\, 2 \).
Рассматриваем промежутки, определяя знак каждого множителя. Квадрат всегда неотрицателен, остальные множители меняют знак в указанных точках.
Подходит промежуток \( [1; 2] \) и отдельная точка \( x = -2 \), где квадрат обращается в ноль.
Ответ: \( x \in \{-2\} \cup [1; 2] \).
3) \( (x^3 — 4x)(x^2 + 2x — 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0; \)
Второе выражение:
\( x^2 + 2x — 8 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 2^2 — 4\cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \)
\( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)
Третье выражение:
\( x^2 + 7x + 10 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 7^2 — 4\cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-7 — 3}{2} = -5 \)
\( x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = -2 \)
Раскладываем первое выражение на множители:
\( x^3 — 4x = x(x^2 — 4) = x(x — 2)(x + 2) \)
Все вместе:
\( x(x — 4)(x — 2)(x + 5)(x + 2) \le 0; \)
\( (x + 2)(x + 4)x(x — 2)(x + 5)(x + 2) \le 0; \)
\( (x + 5)(x + 4)x(x + 2)^2(x — 2)^2 \le 0; \)
Рассмотрим все критические точки: \( x = -5,\, -4,\, -2,\, 0,\, 2 \).
Проверяем знак выражения на каждом промежутке, учитываем кратные корни (квадраты при \( x = -2,\, x = 2 \)).
Находим, что неравенство выполняется на промежутках \( (-\infty; -5] \), \( [-4; 0] \) и отдельная точка \( x = 2 \), где выражение также равно нулю.
Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup [-4; 0] \cup \{2\} \).
