ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \(\frac{x^3(x — 1)^4(x + 5)}{(x — 8)(1 — 4x)} > 0\);

2) \(\frac{(x — 2)(2x + 1)^3}{(3 — x)^4(1 — 5x)^5} > 0\).

3) \(\frac{(x — 3)(5x + 2)(x + 3)}{(x — 1)(x + 4)^2} \geq 0\).

4) \(\frac{x^5 |3x — 1| (x + 3)}{x — 2} \leq 0\);

5) \(\frac{(2 — x)(4x + 3)}{(x — 3)^3(x + 1)^2} \leq 0\);

6) \(\frac{(x + 6)^3(x + 4)(6 — x)^5}{|x + 5|} \geq 0\).

1) \(\frac{x^3(x — 1)^4(x + 5)}{(x — 8)(1 — 4x)} > 0\);

\(\frac{x(x — 1)^2(x + 5)}{-4(x — 0,25)(x — 8)} > 0\);

\(\frac{x(x — 1)^2(x + 5)}{(x — 0,25)(x — 8)} < 0\);

\((x + 5)x(x — 0,25)(x — 1)^2(x — 8) < 0\);

Ответ: \(x \in (-5; 0) \cup (0,25; 1) \cup (1; 8)\).

2) \(\frac{(x — 2)(2x + 1)^3}{(3 — x)^4(1 — 5x)^5} > 0\);

\(\frac{(x — 2)(2x + 1)}{(x — 3)^2(1 — 5x)} > 0\);

\(\frac{(x — 2)\cdot 2(x + 0,5)}{-5(x — 0,2)(x — 3)^2} > 0\);

\(\frac{(x — 2)(x + 0,5)}{(x — 0,2)(x — 3)^2} < 0\);

\((x + 0,5)(x — 0,2)(x — 2)(x — 3)^2 < 0\);

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,5) \cup (0,2; 2)\).

3) \(\frac{(x — 3)(5x + 2)(x + 3)}{(x — 1)(x + 4)^2} \ge 0\);

\(\frac{(x — 3)\cdot 5(x + 0,4)(x + 3)}{(x — 1)(x + 4)^2} \ge 0\);

\((x + 4)^2(x + 3)(x + 0,4)(x — 1)(x — 3) \ge 0\);

Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -3] \cup [-0,4; 1) \cup (3; +\infty)\).

4) \(\frac{x^5|3x — 1| (x + 3)}{x — 2} \le 0\);

\(\frac{x \cdot 3\left|x — \frac13\right|(x + 3)}{x — 2} \le 0\);

\((x + 3)x\left|x — \frac13\right|(x — 2) \le 0\);

Ответ: \(x \in (-\infty; -3] \cup [0; 2)\).

5) \(\frac{(2 — x)(4x + 3)}{(x — 3)^3(x + 1)^2} \le 0\);

\(\frac{-(x — 2)\cdot 4(x + 0,75)}{(x — 3)(x + 1)^2} \le 0\);

\(\frac{(x — 2)(x + 0,75)}{(x — 3)(x + 1)^2} \ge 0\);

\((x + 1)^2(x + 0,75)(x — 2)(x — 3) \ge 0\);

Ответ: \(x \in [-0,75; 2] \cup (3; +\infty)\).

6) \(\frac{(x + 6)^3(x + 4)(6 — x)^5}{|x + 5|} \ge 0\);

\(\frac{(x + 6)(x + 4)(6 — x)}{|x + 5|} \ge 0\);

\(\frac{-(x — 6)(x + 6)(x + 4)}{|x + 5|} \ge 0\);

\(\frac{(x — 6)(x + 6)(x + 4)}{|x + 5|} \le 0\);

\((x + 6)|x + 5|(x + 4)(x — 6) \le 0\);

Ответ: \(x \in (-\infty; -6] \cup [-4; 6]\).

1) \( \frac{x^3(x — 1)^4(x + 5)}{(x — 8)(1 — 4x)} > 0 \)
Сократим чётные степени (знак не меняют) и вынесем постоянные множители:
\( \frac{x(x — 1)^2(x + 5)}{-4\,(x — 0,25)(x — 8)} > 0 \;\Rightarrow\; \frac{x(x — 1)^2(x + 5)}{(x — 0,25)(x — 8)} < 0 \).
Перейдём к знаковому произведению (умножаем на знаменатель с учётом смены знака):
\( (x + 5)\,x\,(x — 0,25)\,(x — 1)^2\,(x — 8) < 0 \).
Критические точки (с кратностями): \(x=-5\) (1), \(0\) (1), \(0{,}25\) (1), \(1\) (2 — чётная), \(8\) (1).
На чётном корне \(x=1\) знак не меняется; на остальных меняется. По таблице знаков получаем отрицательные промежутки:
\( (-5;0) \), \( (0{,}25;1) \), \( (1;8) \).
Ответ: \( x \in (-5; 0) \cup (0,25; 1) \cup (1; 8) \).

2) \( \frac{(x — 2)(2x + 1)^3}{(3 — x)^4(1 — 5x)^5} > 0 \)
Учитываем только чётность степеней (для знака):
\( \frac{(x — 2)(2x + 1)}{(x — 3)^2(1 — 5x)} > 0 \;\Rightarrow\; \frac{(x — 2)\cdot 2(x + 0,5)}{-5(x — 0,2)(x — 3)^2} > 0 \;\Rightarrow\; \frac{(x — 2)(x + 0,5)}{(x — 0,2)(x — 3)^2} < 0 \).
Переходим к произведению (знак развёрнут):
\( (x + 0,5)\,(x — 0,2)\,(x — 2)\,(x — 3)^2 < 0 \).
Критические точки: \(x=-0{,}5\) (1), \(0{,}2\) (1), \(2\) (1), \(3\) (2 — чётная). На \(x=3\) знак не меняется. По знакам получаем отрицательные интервалы:
\( (-\infty; -0{,}5) \) и \( (0{,}2; 2) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -0,5) \cup (0,2; 2) \).

3) \( \frac{(x — 3)(5x + 2)(x + 3)}{(x — 1)(x + 4)^2} \ge 0 \)
Приведём линейные множители к удобному виду, выделив константу \(5\):
\( \frac{(x — 3)\cdot 5(x + 0,4)(x + 3)}{(x — 1)(x + 4)^2} \ge 0 \).
Перенос константы и чётного квадрата даёт эквивалентную знаковую форму:
\( (x + 4)^2\,(x + 3)\,(x + 0,4)\,(x — 1)\,(x — 3) \ge 0 \).
Критические точки и кратности: \(x=-4\) (2 — чётная), \(-3\) (1), \(-0{,}4\) (1), \(1\) (1), \(3\) (1). На \(x=-4\) знак не меняется. С учётом знаков и исключения точек разрыва исходной дроби получаем:
Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -3] \cup [-0,4; 1) \cup (3; +\infty) \).

4) \( \frac{x^5\,|3x — 1|\,(x + 3)}{x — 2} \le 0 \)
Используем \( |3x-1| = 3\,\bigl|x — \frac13\bigr| \) и учитываем, что множитель \(3>0\) на знак не влияет:
\( \frac{x \cdot 3\left|x — \frac13\right|(x + 3)}{x — 2} \le 0 \;\Rightarrow\; (x + 3)\,x\,\left|x — \frac13\right|\,(x — 2) \le 0 \).
Абсолютная величина не меняет знак (кроме собственной точки нуля), анализ ведём по линейным факторам. Получаем объединение подходящих промежутков:
Ответ: \( x \in (-\infty; -3] \cup [0; 2) \).

5) \( \frac{(2 — x)(4x + 3)}{(x — 3)^3(x + 1)^2} \le 0 \)
Выделим константу и приведём к знаковой форме с учётом чётностей:
\( \frac{-(x — 2)\cdot 4(x + 0,75)}{(x — 3)(x + 1)^2} \le 0 \;\Rightarrow\; \frac{(x — 2)(x + 0,75)}{(x — 3)(x + 1)^2} \ge 0 \).
Эквивалентно знаковому произведению:
\( (x + 1)^2\,(x + 0,75)\,(x — 2)\,(x — 3) \ge 0 \).
Критические точки: \(-1\) (2 — чётная), \(-0{,}75\) (1), \(2\) (1), \(3\) (1). На \(x=-1\) знак не меняется. По таблице знаков получаем:
Ответ: \( x \in [-0,75; 2] \cup (3; +\infty) \).

6) \( \frac{(x + 6)^3(x + 4)(6 — x)^5}{|x + 5|} \ge 0 \)
Сократим нечётные степени до 1 (для знака важно лишь чётность) и заменим \(6-x = -(x-6)\):
\( \frac{(x + 6)(x + 4)(6 — x)}{|x + 5|} \ge 0 \;\Rightarrow\; \frac{-(x — 6)(x + 6)(x + 4)}{|x + 5|} \ge 0 \;\Rightarrow\; \frac{(x — 6)(x + 6)(x + 4)}{|x + 5|} \le 0 \).
Переходим к произведению, умножив на положительное \( |x+5| \):
\( (x + 6)\,|x + 5|\,(x + 4)\,(x — 6) \le 0 \).
Знаковый разбор по точкам \(x=-6,-5,-4,6\) даёт объединение:
Ответ: \( x \in (-\infty; -6] \cup [-4; 6] \).