Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) ((x-1)(x-2)^2)/(x-3)^3≤0;
2) ((x-1)^2(x+2)^3)/(x-5)≥0;
3) (x^2(x^2-1))/(x-4) > 0;
4) ((x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4)/x^5≤0.
Решить неравенство:
1)
((x − 1)(x − 2)²) / (x − 3)³ ≤ 0;
(x − 1)(x − 2)² / (x − 3) ≤ 0;
(x − 1)(x − 2)²(x − 3) ≤ 0;
Ответ: x ∈ [1; 3).
2)
((x − 1)²(x + 2)³) / (x − 5) ≥ 0;
(x − 1)²(x + 2) / (x − 5) ≥ 0;
(x + 2)(x − 1)²(x − 5) ≥ 0;
Ответ: x ∈ (−∞; −2] ∪ {1} ∪ (5; +∞).
3)
x²(x² − 1) / (x − 4) > 0;
x²(x + 1)(x − 1) / (x − 4) > 0;
(x + 1)x²(x − 1)(x − 4) > 0;
Ответ: x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (4; +∞).
4)
((x − 1)²(x − 2)³(x − 3)⁴) / x⁵ ≤ 0;
(x − 1)²(x − 2)(x − 3)² / x ≤ 0;
x(x − 1)²(x − 2)(x − 3)² ≤ 0;
Ответ: x ∈ (0; 2] ∪ {3}.
Решить неравенство:
1)
((x − 1)(x − 2)²) / (x − 3)³ ≤ 0
Рассмотрим подробно:
Числитель обращается в ноль при x = 1 и x = 2. Знаменатель обращается в ноль при x = 3. Степень (x − 2) — четная, значит знак этого множителя всегда неотрицательный, кроме точки x = 2, где он равен нулю. Знаменатель в неравенстве с нечетной степенью меняет знак при x = 3. Перепишем так:
(x − 1)(x − 2)² / (x − 3) ≤ 0
(x − 1)(x − 2)²(x − 3) ≤ 0
Строим числовую прямую, отмечаем точки x = 1, 2, 3, учитываем интервалы, где выражение принимает отрицательные значения или равно нулю (кроме точки x = 3, т.к. в исходном неравенстве при x = 3 знаменатель обращается в ноль — нельзя подставлять это значение).
Ответ: x ∈ [1; 3).
2)
((x − 1)²(x + 2)³) / (x − 5) ≥ 0
В числителе: x = 1 и x = −2. В знаменателе: x = 5. При x = 1 числитель равен нулю, при x = −2 числитель равен нулю, при x = 5 знаменатель обращается в ноль, это точка разрыва. Перепишем выражение:
(x − 1)²(x + 2) / (x − 5) ≥ 0
(x + 2)(x − 1)²(x − 5) ≥ 0
Рассмотрим интервалы, выделим точки, где знак выражения неотрицательный (≥ 0), включаем точки, где выражение равно нулю, кроме точки x = 5.
Ответ: x ∈ (−∞; −2] ∪ {1} ∪ (5; +∞).
3)
x²(x² − 1) / (x − 4) > 0
Разложим на множители:
x²(x + 1)(x − 1) / (x − 4) > 0
Нули: x = 0, x = −1, x = 1, x = 4.
Учитываем, что x² всегда неотрицателен, равен нулю при x = 0. x = 4 — точка разрыва, так как знаменатель равен нулю. Неравенство строгое, поэтому точки, где выражение обращается в ноль, не включаются.
Анализируем интервалы, находим, где выражение положительно.
Ответ: x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (4; +∞).
4)
((x − 1)²(x − 2)³(x − 3)⁴) / x⁵ ≤ 0
В числителе: x = 1 (четная степень), x = 2 (нечетная степень), x = 3 (четная степень). В знаменателе: x = 0 (степень 5, нечетная — меняет знак).
Перепишем выражение:
(x − 1)²(x − 2)(x − 3)² / x ≤ 0
x(x − 1)²(x − 2)(x − 3)² ≤ 0
Точки разбиения: x = 0, x = 1, x = 2, x = 3.
Находим интервалы, на которых выражение неположительно (≤ 0), и включаем подходящие граничные точки, кроме x = 0, так как знаменатель обращается в ноль.
Ответ: x ∈ (0; 2] ∪ {3}.
Алгебра
