ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\frac{(x — 1)(x — 2)^2}{(x — 3)^3} \le 0\);

2) \(\frac{(x — 1)^2(x + 2)^3}{x — 5} \ge 0\);

3) \(\frac{x^2(x^2 — 1)}{x — 4} > 0\);

4) \(\frac{(x — 1)^2(x — 2)^3(x — 3)^4}{x^5} \le 0\).

Решить неравенство:

1)\( \frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3} \le 0;\)
\( \frac{(x-1)(x-2)^2}{x-3} \le 0;\)
\( (x-1)(x-2)^2(x-3) \le 0;\)
Ответ: \( x \in [1; 3) \).

2)\( \frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} \ge 0;\)
\( \frac{(x-1)^2(x+2)}{x-5} \ge 0;\)
\( (x+2)(x-1)^2(x-5) \ge 0;\)
Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup \{1\} \cup (5; +\infty) \).

3)\( \frac{x^2(x^2-1)}{x-4} > 0;\)
\( \frac{x^2(x+1)(x-1)}{x-4} > 0;\)
\( (x+1)x^2(x-1)(x-4) > 0;\)
Ответ: \( x \in (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty) \).

4)\( \frac{(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4}{x^5} \le 0;\)
\( \frac{(x-1)^2(x-2)(x-3)^2}{x} \le 0;\)
\( x(x-1)^2(x-2)(x-3)^2 \le 0;\)
Ответ: \( x \in (0; 2] \cup \{3\} \).

Решить неравенство:

1)\( \frac{(x — 1)(x — 2)^2}{(x — 3)^3} \le 0 \)

Рассмотрим подробно:
Числитель обращается в ноль при \( x = 1 \) и \( x = 2 \). Знаменатель обращается в ноль при \( x = 3 \). Степень \( (x — 2) \) — четная, значит знак этого множителя всегда неотрицательный, кроме точки \( x = 2 \), где он равен нулю. Знаменатель в неравенстве с нечетной степенью меняет знак при \( x = 3 \). Перепишем так:

\( \frac{(x — 1)(x — 2)^2}{x — 3} \le 0 \)
\( (x — 1)(x — 2)^2(x — 3) \le 0 \)

Строим числовую прямую, отмечаем точки \( x = 1, 2, 3 \), учитываем интервалы, где выражение принимает отрицательные значения или равно нулю (кроме точки \( x = 3 \), т.к. в исходном неравенстве при \( x = 3 \) знаменатель обращается в ноль — нельзя подставлять это значение).
Ответ: \( x \in [1; 3) \).

2)\( \frac{(x — 1)^2(x + 2)^3}{x — 5} \ge 0 \)

В числителе: \( x = 1 \) и \( x = -2 \). В знаменателе: \( x = 5 \). При \( x = 1 \) числитель равен нулю, при \( x = -2 \) числитель равен нулю, при \( x = 5 \) знаменатель обращается в ноль, это точка разрыва. Перепишем выражение:

\( \frac{(x — 1)^2(x + 2)}{x — 5} \ge 0 \)
\( (x + 2)(x — 1)^2(x — 5) \ge 0 \)

Рассмотрим интервалы, выделим точки, где знак выражения неотрицательный (\( \ge 0 \)), включаем точки, где выражение равно нулю, кроме точки \( x = 5 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup \{1\} \cup (5; +\infty) \).

3)\( \frac{x^2(x^2 — 1)}{x — 4} > 0 \)

Разложим на множители:
\( \frac{x^2(x + 1)(x — 1)}{x — 4} > 0 \)

Нули: \( x = 0, x = -1, x = 1, x = 4 \).
Учитываем, что \( x^2 \) всегда неотрицателен, равен нулю при \( x = 0 \). \( x = 4 \) — точка разрыва, так как знаменатель равен нулю. Неравенство строгое, поэтому точки, где выражение обращается в ноль, не включаются.
Анализируем интервалы, находим, где выражение положительно.
Ответ: \( x \in (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty) \).

4)\( \frac{(x — 1)^2(x — 2)^3(x — 3)^4}{x^5} \le 0 \)

В числителе: \( x = 1 \) (четная степень), \( x = 2 \) (нечетная степень), \( x = 3 \) (четная степень). В знаменателе: \( x = 0 \) (степень 5, нечетная — меняет знак).
Перепишем выражение:

\( \frac{(x — 1)^2(x — 2)(x — 3)^2}{x} \le 0 \)

\( x(x — 1)^2(x — 2)(x — 3)^2 \le 0 \)

Точки разбиения: \( x = 0, x = 1, x = 2, x = 3 \).
Находим интервалы, на которых выражение неположительно (\( \le 0 \)), и включаем подходящие граничные точки, кроме \( x = 0 \), так как знаменатель обращается в ноль.
Ответ: \( x \in (0; 2] \cup \{3\} \).