ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x + 3)(x — 1)(x + 4) < 0\);

2) \((x — 7)(x + 8)(x — 12) ≥ 0\);

3) \((1 — 3x)(x + 2)(3 — x) < 0\);

4) \(x(5 — x)(6 — x) ≤ 0\).

1) \((x + 3)(x — 1)(x + 4) < 0\)
\((x + 4)(x + 3)(x — 1) < 0\)
Рассмотрим знаки произведения \((x + 4)(x + 3)(x — 1)\). Произведение отрицательно при нечётном числе отрицательных множителей.
Корни: \(x = -4,\ -3,\ 1\). По схеме промежутков получаем:
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-4) \cup (-3;\,1)\).

2) \((x — 7)(x + 8)(x — 12) \ge 0\)
\((x + 8)(x — 7)(x — 12) \ge 0\)
Корни: \(x = -8,\ 7,\ 12\). Знак неположительный(?)/неотрицательный на промежутках с чётным числом отрицательных множителей, ноль на корнях включается.
Ответ: \(x \in [-8;\,7] \cup [12;\,+\infty)\).

3) \((1 — 3x)(x + 2)(3 — x) < 0\)
Преобразуем множители: \(1 — 3x = -3\!\left(x — \frac{1}{3}\right)\), \(3 — x = -(x — 3)\). Тогда
\(-(3)\!\left(x — \frac{1}{3}\right)(x + 2)\cdot (-(x — 3)) < 0 \ \Rightarrow\ (x + 2)\!\left(x — \frac{1}{3}\right)(x — 3) < 0.\)
Корни: \(x = -2,\ \frac{1}{3},\ 3\). По схеме знаков:
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-2) \cup \left(\frac{1}{3};\,3\right).\)

4) \((x — 5)\,x\,(6 — x) \le 0\)
Заметим: \(6 — x = -(x — 6)\). Тогда \((x — 5)\,x\,(6 — x) = -\,x(x — 5)(x — 6)\). Две перестановки знака дают эквивалентное неравенство \(x(x — 5)(x — 6) \le 0\).
Корни: \(x = 0,\ 5,\ 6\). Ноль включается (знак «\(\le\)»).
Ответ: \(x \in (-\infty;\,0] \cup [5;\,6].\)

1) \((x + 3)(x — 1)(x + 4) < 0\)
\((x + 4)(x + 3)(x — 1) < 0\)
Чтобы найти решение, рассмотрим знаки множителей. Произведение отрицательно, если число отрицательных множителей нечётно.
Корни: \(x = -4,\ -3,\ 1\). Разбиваем числовую прямую на интервалы:
— \(x < -4\): все множители отрицательны, произведение \(+\).
— \(x \in (-4;\,-3)\): два множителя \(+\), один \(-\) ⇒ произведение \(-\).
— \(x \in (-3;\,1)\): два множителя \(+\), один \(-\) ⇒ произведение \(+\).
— \(x > 1\): все множители \(+\), произведение \(+\).
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-4) \cup (-3;\,1)\).

2) \((x — 7)(x + 8)(x — 12) \ge 0\)
\((x + 8)(x — 7)(x — 12) \ge 0\)
Произведение неотрицательно, если число отрицательных множителей чётно.
Корни: \(x = -8,\ 7,\ 12\). Интервалы:
— \(x < -8\): три \(-\) ⇒ \(+\).
— \(x \in (-8;\,7)\): один \(+\), два \(-\) ⇒ \(+\).
— \(x \in (7;\,12)\): два \(+\), один \(-\) ⇒ \(-\).
— \(x > 12\): все \(+\) ⇒ \(+\).
Ответ: \(x \in [-8;\,7] \cup [12;\,+\infty)\).

3) \((1 — 3x)(x + 2)(3 — x) < 0\)
Запишем \(1 — 3x = -3\!\left(x — \frac{1}{3}\right)\), а \(3 — x = -(x — 3)\). Тогда
\((x + 2)\left(x — \frac{1}{3}\right)(x — 3) < 0\).
Корни: \(x = -2,\ \frac{1}{3},\ 3\). Интервалы:
— \(x < -2\): три \(-\) ⇒ \(+\).
— \(x \in (-2;\,\frac{1}{3})\): один \(+\), два \(-\) ⇒ \(-\).
— \(x \in (\frac{1}{3};\,3)\): два \(+\), один \(-\) ⇒ \(+\).
— \(x > 3\): все \(+\) ⇒ \(+\).
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-2) \cup \left(\frac{1}{3};\,3\right)\).

4) \((x — 5)\,x\,(6 — x) \le 0\)
Так как \(6 — x = -(x — 6)\), получаем \(-\,x(x — 5)(x — 6) \le 0\), что эквивалентно \(x(x — 5)(x — 6) \ge 0\) при смене знака обеих частей.
Корни: \(x = 0,\ 5,\ 6\).
Интервалы:
— \(x < 0\): один \(+\), два \(-\) ⇒ \(-\) (но при \(\le 0\) берём отрицательные и нули).
— \(x \in (0;\,5)\): один \(+\), два \(-\) ⇒ \(-\).
— \(x \in (5;\,6)\): два \(+\), один \(-\) ⇒ \(+\).
— \(x > 6\): все \(+\) ⇒ \(+\).
Ответ: \(x \in (-\infty;\,0] \cup [5;\,6]\).