Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \((x + 3)(x — 1)(x + 4) < 0\);
2) \((x — 7)(x + 8)(x — 12) ≥ 0\);
3) \((1 — 3x)(x + 2)(3 — x) < 0\);
4) \(x(5 — x)(6 — x) ≤ 0\).
1) \((x + 3)(x — 1)(x + 4) < 0\)
\((x + 4)(x + 3)(x — 1) < 0\)
Рассмотрим знаки произведения \((x + 4)(x + 3)(x — 1)\). Произведение отрицательно при нечётном числе отрицательных множителей.
Корни: \(x = -4,\ -3,\ 1\). По схеме промежутков получаем:
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-4) \cup (-3;\,1)\).
2) \((x — 7)(x + 8)(x — 12) \ge 0\)
\((x + 8)(x — 7)(x — 12) \ge 0\)
Корни: \(x = -8,\ 7,\ 12\). Знак неположительный(?)/неотрицательный на промежутках с чётным числом отрицательных множителей, ноль на корнях включается.
Ответ: \(x \in [-8;\,7] \cup [12;\,+\infty)\).
3) \((1 — 3x)(x + 2)(3 — x) < 0\)
Преобразуем множители: \(1 — 3x = -3\!\left(x — \frac{1}{3}\right)\), \(3 — x = -(x — 3)\). Тогда
\(-(3)\!\left(x — \frac{1}{3}\right)(x + 2)\cdot (-(x — 3)) < 0 \ \Rightarrow\ (x + 2)\!\left(x — \frac{1}{3}\right)(x — 3) < 0.\)
Корни: \(x = -2,\ \frac{1}{3},\ 3\). По схеме знаков:
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-2) \cup \left(\frac{1}{3};\,3\right).\)
4) \((x — 5)\,x\,(6 — x) \le 0\)
Заметим: \(6 — x = -(x — 6)\). Тогда \((x — 5)\,x\,(6 — x) = -\,x(x — 5)(x — 6)\). Две перестановки знака дают эквивалентное неравенство \(x(x — 5)(x — 6) \le 0\).
Корни: \(x = 0,\ 5,\ 6\). Ноль включается (знак «\(\le\)»).
Ответ: \(x \in (-\infty;\,0] \cup [5;\,6].\)
1) \((x + 3)(x — 1)(x + 4) < 0\)
\((x + 4)(x + 3)(x — 1) < 0\)
Чтобы найти решение, рассмотрим знаки множителей. Произведение отрицательно, если число отрицательных множителей нечётно.
Корни: \(x = -4,\ -3,\ 1\). Разбиваем числовую прямую на интервалы:
— \(x < -4\): все множители отрицательны, произведение \(+\).
— \(x \in (-4;\,-3)\): два множителя \(+\), один \(-\) ⇒ произведение \(-\).
— \(x \in (-3;\,1)\): два множителя \(+\), один \(-\) ⇒ произведение \(+\).
— \(x > 1\): все множители \(+\), произведение \(+\).
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-4) \cup (-3;\,1)\).
2) \((x — 7)(x + 8)(x — 12) \ge 0\)
\((x + 8)(x — 7)(x — 12) \ge 0\)
Произведение неотрицательно, если число отрицательных множителей чётно.
Корни: \(x = -8,\ 7,\ 12\). Интервалы:
— \(x < -8\): три \(-\) ⇒ \(+\).
— \(x \in (-8;\,7)\): один \(+\), два \(-\) ⇒ \(+\).
— \(x \in (7;\,12)\): два \(+\), один \(-\) ⇒ \(-\).
— \(x > 12\): все \(+\) ⇒ \(+\).
Ответ: \(x \in [-8;\,7] \cup [12;\,+\infty)\).
3) \((1 — 3x)(x + 2)(3 — x) < 0\)
Запишем \(1 — 3x = -3\!\left(x — \frac{1}{3}\right)\), а \(3 — x = -(x — 3)\). Тогда
\((x + 2)\left(x — \frac{1}{3}\right)(x — 3) < 0\).
Корни: \(x = -2,\ \frac{1}{3},\ 3\). Интервалы:
— \(x < -2\): три \(-\) ⇒ \(+\).
— \(x \in (-2;\,\frac{1}{3})\): один \(+\), два \(-\) ⇒ \(-\).
— \(x \in (\frac{1}{3};\,3)\): два \(+\), один \(-\) ⇒ \(+\).
— \(x > 3\): все \(+\) ⇒ \(+\).
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-2) \cup \left(\frac{1}{3};\,3\right)\).
4) \((x — 5)\,x\,(6 — x) \le 0\)
Так как \(6 — x = -(x — 6)\), получаем \(-\,x(x — 5)(x — 6) \le 0\), что эквивалентно \(x(x — 5)(x — 6) \ge 0\) при смене знака обеих частей.
Корни: \(x = 0,\ 5,\ 6\).
Интервалы:
— \(x < 0\): один \(+\), два \(-\) ⇒ \(-\) (но при \(\le 0\) берём отрицательные и нули).
— \(x \in (0;\,5)\): один \(+\), два \(-\) ⇒ \(-\).
— \(x \in (5;\,6)\): два \(+\), один \(-\) ⇒ \(+\).
— \(x > 6\): все \(+\) ⇒ \(+\).
Ответ: \(x \in (-\infty;\,0] \cup [5;\,6]\).
