Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \(\frac{2(x — 3)}{x(x — 6)} < \frac{1}{x — 1}\);
2) \(\frac{2x + 3}{x^2 + x — 12} < \frac{1}{2}\).
1)\(\frac{2(x — 3)}{x(x — 6)} < \frac{1}{x — 1}\);
Приводим к общему знаменателю:
\(\frac{2x — 6}{x(x — 6)} — \frac{1}{x — 1} < 0;\)
\(\frac{(2x — 6)(x — 1) — x(x — 6)}{x(x — 1)(x — 6)} < 0;\)
Раскрываем скобки:
\((2x — 6)(x — 1) = 2x(x — 1) — 6(x — 1)=\)
\(= 2x^2 — 2x — 6x + 6 = 2x^2 — 8x + 6;\)
\(x(x — 6) = x^2 — 6x;\)
Итак, числитель: \(2x^2 — 8x + 6 — (x^2 — 6x) = x^2 — 2x + 6;\)
Знаменатель: \(x(x — 1)(x — 6);\)
Итак, неравенство:
\(\frac{x^2 — 2x + 6}{x(x — 1)(x — 6)} < 0;\)
Первое выражение:
\(x^2 — 2x + 6 \ge 0;\)
\(D = (-2)^2 — 4\cdot1\cdot6 = 4 — 24 = -20;\)
Дискриминант отрицательный, значит парабола всегда выше оси абсцисс. Выражение всегда положительно.
Рассматриваем только знак знаменателя:
\(x(x — 1)(x — 6) < 0;\)
Критические точки: \(0, 1, 6\).
Интервалы: \((-\infty; 0), (0; 1), (1; 6), (6; +\infty)\).
Знак отрицательный на промежутках \((-\infty; 0)\) и \((1; 6)\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (1; 6)\).
2)\(\frac{2x + 3}{x^2 + x — 12} < \frac{1}{2};\)
Приводим к общему знаменателю:
\(\frac{2x + 3}{x^2 + x — 12} — \frac{1}{2} < 0;\)
\(\frac{2(2x + 3) — (x^2 + x — 12)}{2(x^2 + x — 12)} < 0;\)
\(\frac{4x + 6 — x^2 — x + 12}{2(x^2 + x — 12)} < 0;\)
\(\frac{-x^2 + 3x + 18}{2(x^2 + x — 12)} < 0;\)
Меняем знак на неравенство и числитель:
\(\frac{x^2 — 3x — 18}{2(x^2 + x — 12)} > 0;\)
Числитель: \(x^2 — 3x — 18 = 0\)
\(D = (-3)^2 — 4\cdot1\cdot(-18) = 9 + 72 = 81\)
\(x_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3\)
\(x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6\)
Знаменатель: \(x^2 + x — 12 = 0\)
\(D = 1^2 — 4\cdot1\cdot(-12) = 1 + 48 = 49\)
\(x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4\)
\(x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3\)
Рассматриваем промежутки, определяем где дробь положительна:
\(\frac{(x + 3)(x — 6)}{(x + 4)(x — 3)} > 0;\)
Знаки на промежутках дают:
Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 3) \cup (6; +\infty)\).
1)\( \frac{2(x — 3)}{[x(x — 6)]} < \frac{1}{(x — 1)} \)
Переносим все в одну сторону:
\( \frac{2(x — 3)}{[x(x — 6)]} — \frac{1}{(x — 1)} < 0 \)
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{(2x — 6)(x — 1) — x(x — 6)}{[x(x — 1)(x — 6)]} < 0 \)
Раскрываем скобки в числителе:
\( (2x — 6)(x — 1) = 2x(x — 1) — 6(x — 1)=\)
\(= 2x^2 — 2x — 6x + 6 = 2x^2 — 8x + 6 \)
\( x(x — 6) = x^2 — 6x \)
Значит, числитель: \( 2x^2 — 8x + 6 — (x^2 — 6x) = x^2 — 2x + 6 \)
Получили неравенство:
\( \frac{x^2 — 2x + 6}{[x(x — 1)(x — 6)]} < 0 \)
Анализируем знак числителя:
\( x^2 — 2x + 6 = 0 \)
\( D = (-2)^2 — 4\cdot1\cdot6 = 4 — 24 = -20 \) — дискриминант отрицательный, значит \( x^2 — 2x + 6 \) всегда \( > 0 \) для любых \( x \).
Значит, знак всей дроби определяется только знаком знаменателя:
\( x(x — 1)(x — 6) < 0 \)
Критические точки: \( x = 0, x = 1, x = 6 \)
Рассматриваем интервалы:
\( (-\infty; 0), (0; 1), (1; 6), (6; +\infty) \)
На интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (1; 6) \) дробь отрицательна.
Поскольку исходное неравенство строгое, точки \( x = 0, x = 1, x = 6 \) не включаются.
Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (1; 6) \)
2)\( \frac{2x + 3}{x^2 + x — 12} < \frac{1}{2} \)
Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю:
\( \frac{2(2x + 3)}{2(x^2 + x — 12)} — \frac{(x^2 + x — 12)}{2(x^2 + x — 12)} < 0 \)
Числитель:
\( 2(2x + 3) — (x^2 + x — 12) = 4x + 6 — x^2 — x + 12 = -x^2 + 3x + 18 \)
Значит, дробь:
\( \frac{-x^2 + 3x + 18}{2(x^2 + x — 12)} < 0 \)
Меняем знаки (умножаем обе части на \(-1\)):
\( \frac{x^2 — 3x — 18}{2(x^2 + x — 12)} > 0 \)
Найдём нули числителя и знаменателя:
Числитель: \( x^2 — 3x — 18 = 0 \)
\( D = (-3)^2 — 4\cdot1\cdot(-18) = 9 + 72 = 81 \)
\( x_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3 \)
\( x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6 \)
Знаменатель: \( x^2 + x — 12 = 0 \)
\( D = 1^2 — 4\cdot1\cdot(-12) = 1 + 48 = 49 \)
\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \)
\( x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \)
Запишем выражение как \( \frac{(x + 3)(x — 6)}{2(x + 4)(x — 3)} > 0 \)
Критические точки: \( x = -4, -3, 3, 6 \)
Определяем знаки на промежутках:
1. \( (-\infty; -4) \)
2. \( (-4; -3) \)
3. \( (-3; 3) \)
4. \( (3; 6) \)
5. \( (6; +\infty) \)
Включаем точки, где числитель обращается в ноль (\( x = -3, x = 6 \)), и исключаем точки, где знаменатель равен нулю (\( x = -4, x = 3 \)).
Выписываем промежутки, на которых дробь положительна:
Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 3) \cup (6; +\infty) \)
