Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) (2(x-3))/(x(x-6)) < 1/(x-1);
2) (2x+3)/(x^2+x-12) < 1/2.
1)
2(x − 3) / [x(x − 6)] < 1 / (x − 1);
Приводим к общему знаменателю:
2x − 6 / [x(x − 6)] − 1 / (x − 1) < 0;
[(2x − 6)(x − 1) − x(x − 6)] / [x(x − 1)(x − 6)] < 0;
Раскрываем скобки:
(2x − 6)(x − 1) = 2x(x − 1) − 6(x − 1) = 2x² − 2x − 6x + 6 = 2x² − 8x + 6;
x(x − 6) = x² − 6x;
Итак, числитель: 2x² − 8x + 6 − (x² − 6x) = x² − 2x + 6;
Знаменатель: x(x − 1)(x − 6);
Итак, неравенство:
(x² − 2x + 6) / [x(x − 1)(x − 6)] < 0;
Первое выражение:
x² − 2x + 6 ≥ 0;
D = (−2)² − 4·1·6 = 4 − 24 = −20;
Дискриминант отрицательный, значит парабола всегда выше оси абсцисс. Выражение всегда положительно.
Рассматриваем только знак знаменателя:
x(x − 1)(x − 6) < 0;
Критические точки: 0, 1, 6.
Интервалы:
(−∞; 0), (0; 1), (1; 6), (6; +∞).
Знак отрицательный на промежутках (−∞; 0) и (1; 6).
Ответ: x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; 6).
2)
2x + 3 / (x² + x − 12) < 1/2;
Приводим к общему знаменателю:
2x + 3 / (x² + x − 12) − 1/2 < 0;
[2(2x + 3) − (x² + x − 12)] / [2(x² + x − 12)] < 0;
[4x + 6 − x² − x + 12] / [2(x² + x − 12)] < 0;
[−x² + 3x + 18] / [2(x² + x − 12)] < 0;
Меняем знак на неравенство и числитель:
[x² − 3x − 18] / [2(x² + x − 12)] > 0;
Числитель: x² − 3x − 18 = 0
D = (−3)² − 4·1·(−18) = 9 + 72 = 81
x₁ = (3 − 9)/2 = −3
x₂ = (3 + 9)/2 = 6
Знаменатель: x² + x − 12 = 0
D = 1² − 4·1·(−12) = 1 + 48 = 49
x₁ = (−1 − 7)/2 = −4
x₂ = (−1 + 7)/2 = 3
Рассматриваем промежутки, определяем где дробь положительна:
(x + 3)(x − 6) / [(x + 4)(x − 3)] > 0;
Знаки на промежутках дают:
Ответ: x ∈ (−∞; −4) ∪ (−3; 3) ∪ (6; +∞).
1)
2(x − 3) / [x(x − 6)] < 1 / (x − 1)
Переносим все в одну сторону:
2(x − 3) / [x(x − 6)] − 1 / (x − 1) < 0
Приводим к общему знаменателю:
[(2x − 6)(x − 1) − x(x − 6)] / [x(x − 1)(x − 6)] < 0
Раскрываем скобки в числителе:
(2x − 6)(x − 1) = 2x(x − 1) − 6(x − 1) = 2x² − 2x − 6x + 6 = 2x² − 8x + 6
x(x − 6) = x² − 6x
Значит, числитель: 2x² − 8x + 6 − (x² − 6x) = x² − 2x + 6
Получили неравенство:
(x² − 2x + 6) / [x(x − 1)(x − 6)] < 0
Анализируем знак числителя:
x² − 2x + 6 = 0
D = (−2)² − 4·1·6 = 4 − 24 = −20 — дискриминант отрицательный, значит x² − 2x + 6 всегда > 0 для любых x.
Значит, знак всей дроби определяется только знаком знаменателя:
x(x − 1)(x − 6) < 0
Критические точки: x = 0, x = 1, x = 6
Рассматриваем интервалы:
(−∞; 0), (0; 1), (1; 6), (6; +∞)
На интервалах (−∞; 0) и (1; 6) дробь отрицательна.
Поскольку исходное неравенство строгое, точки x = 0, x = 1, x = 6 не включаются.
Ответ: x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; 6)
2)
(2x + 3) / (x² + x − 12) < 1/2
Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю:
2(2x + 3) / [2(x² + x − 12)] − (x² + x − 12) / [2(x² + x − 12)] < 0
Числитель:
2(2x + 3) − (x² + x − 12) = 4x + 6 − x² − x + 12 = −x² + 3x + 18
Значит, дробь:
(−x² + 3x + 18) / [2(x² + x − 12)] < 0
Меняем знаки (умножаем обе части на −1):
(x² − 3x − 18) / [2(x² + x − 12)] > 0
Найдём нули числителя и знаменателя:
Числитель: x² − 3x − 18 = 0
D = (−3)² − 4·1·(−18) = 9 + 72 = 81
x₁ = (3 − 9)/2 = −3
x₂ = (3 + 9)/2 = 6
Знаменатель: x² + x − 12 = 0
D = 1² − 4·1·(−12) = 1 + 48 = 49
x₁ = (−1 − 7)/2 = −4
x₂ = (−1 + 7)/2 = 3
Запишем выражение как (x + 3)(x − 6) / [2(x + 4)(x − 3)] > 0
Критические точки: x = −4, −3, 3, 6
Определяем знаки на промежутках:
1. (−∞; −4)
2. (−4; −3)
3. (−3; 3)
4. (3; 6)
5. (6; +∞)
Включаем точки, где числитель обращается в ноль (x = −3, x = 6), и исключаем точки, где знаменатель равен нулю (x = −4, x = 3).
Выписываем промежутки, на которых дробь положительна:
Ответ: x ∈ (−∞; −4) ∪ (−3; 3) ∪ (6; +∞)
Алгебра
