Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \((x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} < 0\);
2) \((x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} > 0\);
3) \((x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} \le 0\);
4) \((x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} \ge 0\);
5) \((x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} < 0\);
6) \((x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} > 0\);
7) \((x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} \le 0\);
8) \((x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} \ge 0\);
1) \( (x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} < 0 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 1 \ge 0; \)
\( (x + 1)(x — 1) \ge 0; \)
\( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \);
Неравенство:
\( x^2 — 4 < 0; \)
\( (x + 2)(x — 2) < 0; \)
\( -2 < x < 2; \)
Ответ: \( x \in (-2; -1) \cup (1; 2) \).
2) \( (x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} > 0 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 1 \ge 0; \)
\( (x + 1)(x — 1) \ge 0; \)
\( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \);
Неравенство:
\( x^2 — 4 > 0; \)
\( (x + 2)(x — 2) > 0; \)
\( x < -2 \) или \( x > 2; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \).
3) \( (x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} \le 0 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 1 \ge 0; \)
\( (x + 1)(x — 1) \ge 0; \)
\( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \);
Неравенство:
\( x^2 — 4 \le 0; \)
\( (x + 2)(x — 2) \le 0; \)
\( -2 \le x \le 2; \)
Ответ: \( x \in [-2; -1] \cup [1; 2] \).
4) \( (x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} \ge 0 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 1 \ge 0; \)
\( (x + 1)(x — 1) \ge 0; \)
\( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \);
Неравенство:
\( x^2 — 4 \ge 0; \)
\( (x + 2)(x — 2) \ge 0; \)
\( x \le -2 \) или \( x \ge 2; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup \{-1; 1\} \cup [2; +\infty) \).
5) \( (x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} < 0 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 7x + 10 \ge 0; \)
\( D = 49 — 40 = 9; \)
\( x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2; \quad x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5; \)
\( (x — 2)(x — 5) \ge 0; \)
\( x \le 2 \) или \( x \ge 5; \)
Неравенство:
\( x^2 — 5x + 4 < 0; \)
\( D = 25 — 16 = 9; \)
\( x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1; \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4; \)
\( (x — 1)(x — 4) < 0; \)
\( 1 < x < 4; \)
Ответ: \( x \in (1; 2) \).
6) \( (x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} > 0 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 7x + 10 \ge 0; \)
\( x \le 2 \) или \( x \ge 5; \)
Неравенство:
\( x^2 — 5x + 4 > 0; \)
\( (x — 1)(x — 4) > 0; \)
\( x < 1 \) или \( x > 4; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty) \).
7) \( (x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} \le 0 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 7x + 10 \ge 0; \)
\( x \le 2 \) или \( x \ge 5; \)
Неравенство:
\( x^2 — 5x + 4 \le 0; \)
\( (x — 1)(x — 4) \le 0; \)
\( 1 \le x \le 4; \)
Ответ: \( x \in [1; 2] \cup \{5\} \).
8) \( (x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} \ge 0 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 7x + 10 \ge 0; \)
\( x \le 2 \) или \( x \ge 5; \)
Неравенство:
\( x^2 — 5x + 4 \ge 0; \)
\( (x — 1)(x — 4) \ge 0; \)
\( x \le 1 \) или \( x \ge 4; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup \{2\} \cup [5; +\infty) \).
1) \( (x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} < 0 \);
Выражение определено, если подкоренное выражение неотрицательно:
\( x^2 — 1 \ge 0, \)
\( (x + 1)(x — 1) \ge 0, \)
\( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \).
Далее решаем неравенство:
\( x^2 — 4 < 0, \)
\( (x + 2)(x — 2) < 0, \)
\( -2 < x < 2 \).
Теперь пересекаем области допустимых значений и решение неравенства:
Область \( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \),
решение \( x \in (-2; 2) \).
Пересечение: \( x \in (-2; -1) \cup (1; 2) \).
Ответ: \( x \in (-2; -1) \cup (1; 2) \).
2) \( (x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} > 0 \);
ОДЗ: \( x^2 — 1 \ge 0, \)
\( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \).
Неравенство:
\( x^2 — 4 > 0, \)
\( (x + 2)(x — 2) > 0, \)
\( x < -2 \) или \( x > 2 \).
Пересечение с ОДЗ:
\( x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \).
3) \( (x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} \le 0 \);
ОДЗ: \( x^2 — 1 \ge 0, \)
\( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \).
Неравенство:
\( x^2 — 4 \le 0, \)
\( (x + 2)(x — 2) \le 0, \)
\( -2 \le x \le 2 \).
Пересечение с ОДЗ:
\( x \in [-2; -1] \cup [1; 2] \).
Ответ: \( x \in [-2; -1] \cup [1; 2] \).
4) \( (x^2 — 4)\sqrt{x^2 — 1} \ge 0 \);
ОДЗ: \( x^2 — 1 \ge 0, \)
\( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \).
Неравенство:
\( x^2 — 4 \ge 0, \)
\( (x + 2)(x — 2) \ge 0, \)
\( x \le -2 \) или \( x \ge 2 \).
Пересечение с ОДЗ:
\( x \in (-\infty; -2] \cup \{-1; 1\} \cup [2; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup \{-1; 1\} \cup [2; +\infty) \).
5) \( (x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} < 0 \);
ОДЗ: \( x^2 — 7x + 10 \ge 0 \)
Решаем квадратное неравенство:
\( x^2 — 7x + 10 \ge 0 \)
\( D = 49 — 40 = 9 \)
Корни: \( x = \frac{7 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 2, \; x_2 = 5 \)
\( (x — 2)(x — 5) \ge 0 \)
\( x \le 2 \) или \( x \ge 5 \)
Решаем основное неравенство:
\( x^2 — 5x + 4 < 0 \)
\( D = 25 — 16 = 9 \)
Корни: \( x = \frac{5 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 1, \; x_2 = 4 \)
\( (x — 1)(x — 4) < 0 \)
\( 1 < x < 4 \)
Пересекаем с ОДЗ:
\( x \in (1; 2) \)
Ответ: \( x \in (1; 2) \).
6) \( (x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} > 0 \);
ОДЗ: \( x^2 — 7x + 10 \ge 0 \)
\( x \le 2 \) или \( x \ge 5 \)
Неравенство:
\( x^2 — 5x + 4 > 0 \)
\( (x — 1)(x — 4) > 0 \)
\( x < 1 \) или \( x > 4 \)
Пересечение:
\( x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty) \)
Ответ: \( x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty) \).
7) \( (x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} \le 0 \);
ОДЗ: \( x^2 — 7x + 10 \ge 0 \)
\( x \le 2 \) или \( x \ge 5 \)
Неравенство:
\( x^2 — 5x + 4 \le 0 \)
\( (x — 1)(x — 4) \le 0 \)
\( 1 \le x \le 4 \)
Пересечение:
\( x \in [1; 2] \cup \{5\} \)
Ответ: \( x \in [1; 2] \cup \{5\} \).
8) \( (x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} \ge 0 \);
ОДЗ: \( x^2 — 7x + 10 \ge 0 \)
\( x \le 2 \) или \( x \ge 5 \)
Неравенство:
\( x^2 — 5x + 4 \ge 0 \)
\( (x — 1)(x — 4) \ge 0 \)
\( x \le 1 \) или \( x \ge 4 \)
Пересечение:
\( x \in (-\infty; 1] \cup \{2\} \cup [5; +\infty) \)
Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup \{2\} \cup [5; +\infty) \).
