Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решить неравенство:
|x − 1| / (x² − 16) ≤ (x − 1) / (x² − 16)
Решить неравенство:
|x − 1| / (x² − 16) ≤ (x − 1) / (x² − 16);
1) По определению модуля числа:
|x − 1| / (x² − 16) ≥ 0;
2) Если (x − 1) / (x² − 16) > 0, тогда:
|x − 1| / (x² − 16) = (x − 1) / (x² − 16);
3) Значит, неравенство верно, если:
(x − 1) / (x² − 16) ≥ 0;
(x − 1) / [(x + 4)(x − 4)] ≥ 0;
(x + 4)(x − 1)(x − 4) ≥ 0;
Ответ: x ∈ (−4; 1] ∪ (4; +∞).
Решить неравенство:
|x − 1| / (x² − 16) ≤ (x − 1) / (x² − 16);
1) По определению модуля числа:
|x − 1| / (x² − 16) ≥ 0.
Это всегда выполняется для любых допустимых x, где знаменатель не равен нулю:
x² − 16 ≠ 0 ⟹ x ≠ 4, x ≠ −4.
2) Рассмотрим случай, когда (x − 1) / (x² − 16) > 0:
В этом случае знак дроби положителен, тогда:
|x − 1| / (x² − 16) = (x − 1) / (x² − 16).
Подставляем в неравенство:
(x − 1) / (x² − 16) ≤ (x − 1) / (x² − 16)
Это всегда верно для положительных значений дроби при x ≠ 4, x ≠ −4.
3) Рассмотрим случай, когда (x − 1) / (x² − 16) < 0:
В этом случае:
|x − 1| / (x² − 16) = −(x − 1) / (x² − 16).
Неравенство становится:
−(x − 1) / (x² − 16) ≤ (x − 1) / (x² − 16)
−(x − 1) − (x − 1) ≤ 0
−2(x − 1) ≤ 0
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
Но при этом (x − 1) / (x² − 16) < 0, значит дробь меняет знак только при x между разными корнями знаменателя и числителя.
Знаменатель: x² − 16 = (x + 4)(x − 4).
Числитель: x − 1.
Значит, для x ≥ 1, но только в тех промежутках, где (x − 1) / (x² − 16) < 0.
Это x ∈ (1; 4).
4) Теперь объединим все подходящие промежутки:
- Для (x − 1) / (x² − 16) ≥ 0, учитываем все значения, при которых произведение (x + 4)(x − 1)(x − 4) ≥ 0, кроме точек x = 4 и x = −4 (деление на ноль не допускается).
- Рассмотрим знаки на промежутках, отмеченных критическими точками x = −4, 1, 4:
На числовой прямой интервалы будут:
(−∞; −4), (−4; 1), (1; 4), (4; +∞).
Знаки произведения (x + 4)(x − 1)(x − 4):
- На (−∞; −4) все множители отрицательны, произведение отрицательно.
- На (−4; 1) (x + 4) > 0, (x − 1) < 0, (x − 4) < 0 — произведение положительно (две отрицательные скобки).
- На (1; 4) (x + 4) > 0, (x − 1) > 0, (x − 4) < 0 — произведение отрицательно.
- На (4; +∞) все множители положительны — произведение положительно.
Включаем x = 1, так как при x = 1 дробь равна нулю.
Ответ: x ∈ (−4; 1] ∪ (4; +∞).
Алгебра
