ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить неравенство: \(\frac{|x-1|}{x^{2}-16} \le \frac{x-1}{x^{2}-16}\).

Решить неравенство:
\(\frac{|x — 1|}{x^{2} — 16} \le \frac{x — 1}{x^{2} — 16}\);

1) По определению модуля числа:
\(\frac{|x — 1|}{x^{2} — 16} \ge 0\);

2) Если \(\frac{(x — 1)}{x^{2} — 16} > 0\), тогда:
\(\frac{|x — 1|}{x^{2} — 16} = \frac{x — 1}{x^{2} — 16}\);

3) Значит, неравенство верно, если:
\(\frac{x — 1}{x^{2} — 16} \ge 0\);
\(\frac{x — 1}{(x + 4)(x — 4)} \ge 0\);
\((x + 4)(x — 1)(x — 4) \ge 0\);

Ответ: \(x \in (-4; 1] \cup (4; +\infty)\).

Решить неравенство:
\(\frac{|x — 1|}{x^{2} — 16} \le \frac{x — 1}{x^{2} — 16}\);

1) По определению модуля числа:
\(\frac{|x — 1|}{x^{2} — 16} \ge 0\).
Это всегда выполняется для любых допустимых \(x\), где знаменатель не равен нулю:
\(x^{2} — 16 \ne 0 \;\Rightarrow\; x \ne 4,\; x \ne -4\).

2) Рассмотрим случай, когда \(\frac{x — 1}{x^{2} — 16} > 0\):
В этом случае знак дроби положителен, тогда:
\(\frac{|x — 1|}{x^{2} — 16} = \frac{x — 1}{x^{2} — 16}\).
Подставляем в неравенство:
\(\frac{x — 1}{x^{2} — 16} \le \frac{x — 1}{x^{2} — 16}\)
Это всегда верно для положительных значений дроби при \(x \ne 4,\; x \ne -4\).

3) Рассмотрим случай, когда \(\frac{x — 1}{x^{2} — 16} < 0\):
В этом случае:
\(\frac{|x — 1|}{x^{2} — 16} = -\,\frac{x — 1}{x^{2} — 16}\).
Неравенство становится:
\(-\,\frac{x — 1}{x^{2} — 16} \le \frac{x — 1}{x^{2} — 16}\)
\(\Rightarrow -\,(x — 1) \le x — 1\)
\(\Rightarrow -\,2(x — 1) \le 0\)
\(\Rightarrow x \ge 1\).
Но при этом \(\frac{x — 1}{x^{2} — 16} < 0\), значит дробь меняет знак только при \(x\) между разными корнями знаменателя и числителя.
Знаменатель: \(x^{2} — 16 = (x + 4)(x — 4)\).
Числитель: \(x — 1\).
Значит, для \(x \ge 1\), но только в тех промежутках, где \(\frac{x — 1}{x^{2} — 16} < 0\). Это \(x \in (1; 4)\).

4) Теперь объединим все подходящие промежутки:
Для \(\frac{x — 1}{x^{2} — 16} \ge 0\) учитываем все значения, при которых произведение \((x + 4)(x — 1)(x — 4) \ge 0\), кроме точек \(x = 4\) и \(x = -4\) (деление на ноль не допускается).
Рассмотрим знаки на промежутках, отмеченных критическими точками \(x = -4, 1, 4\):

На числовой прямой интервалы будут:
\((-\infty; -4),\; (-4; 1),\; (1; 4),\; (4; +\infty)\).
Знаки произведения \((x + 4)(x — 1)(x — 4)\):
На \((-\infty; -4)\) все множители отрицательны — произведение отрицательно.
На \((-4; 1)\) \((x + 4) > 0,\; (x — 1) < 0,\; (x — 4) < 0\) — произведение положительно (две отрицательные скобки).
На \((1; 4)\) \((x + 4) > 0,\; (x — 1) > 0,\; (x — 4) < 0\) — произведение отрицательно.
На \((4; +\infty)\) все множители положительны — произведение положительно.
Включаем \(x = 1\), так как при \(x = 1\) дробь равна нулю.

Ответ: \(x \in (-4; 1] \cup (4; +\infty)\).