ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.25 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите неравенство:

1) \((x — 3)(x — a) < 0\)

2) \((x — 3)(x — a)^{2} > 0\)

3) \((x — 3)(x — a)^{2} \ge 0\)

4) \((x — a)(x + 5)^{2} < 0\)

5) \((x — a)(x + 5)^{2} \le 0\)

6) \(\frac{x — 5}{x — a} \ge 0\), \(x \ne a\)

7) \(\frac{(x + 1)(x — a)}{x + 1} \ge 0\), \(x \ne -1\)

8) \(\frac{(x + 1)(x — a)}{x — a} \le 0\), \(x \ne a\)

Для каждого значения a решить неравенство:

1) \((x − 3)(x − a) < 0;\)
Если \(a = 3\), тогда:
\((x − 3)(x − 3) < 0;\)
\((x − 3)^{2} < 0;\)
Решений нет.

Ответ: \(x \in (a; 3)\), если \(a < 3\);
\(x \in \emptyset\), если \(a = 3\);
\(x \in (3; a)\), если \(a > 3\).

2) \((x − 3)(x − a)^{2} > 0;\)
Если \(a = 3\), тогда:
\((x − 3)(x − 3)^{2} > 0;\)
\((x − 3)^{3} > 0;\)
\(x − 3 > 0;\)
\(x > 3.\)

Ответ: \(x \in (3; +\infty)\), если \(a \le 3\);
\(x \in (3; a) \cup (a; +\infty)\), если \(a > 3\).

3) \((x − 3)(x − a)^{2} \ge 0;\)
Если \(a = 3\), тогда:
\((x − 3)(x − 3)^{2} \ge 0;\)
\((x − 3)^{3} \ge 0;\)
\(x − 3 \ge 0;\)
\(x \ge 3.\)

Ответ: \(x \in \{a\} \cup [3; +\infty)\), если \(a < 3\);
\(x \in [3; +\infty)\), если \(a \ge 3\).

4) \((x − a)(x + 5)^{2} < 0;\)
Если \(a = −5\), тогда:
\((x + 5)(x + 5)^{2} < 0;\)
\((x + 5)^{3} < 0;\)
\(x + 5 < 0;\)
\(x < −5;\)
\(x < a.\)

Ответ: \(x \in (−\infty; a)\), если \(a \le −5\);
\(x \in (−\infty; −5) \cup (−5; a)\), если \(a > −5\).

5) \((x − a)(x + 5)^{2} \le 0;\)
Если \(a = −5\), тогда:
\((x + 5)(x + 5)^{2} \le 0;\)
\((x + 5)^{3} \le 0;\)
\(x + 5 \le 0;\)
\(x \le −5;\)
\(x \le a.\)

Ответ: \(x \in (−\infty; a] \cup \{−5\}\), если \(a < −5\);
\(x \in (−\infty; a]\), если \(a \ge −5\).

6) \(\frac{x − 5}{x − a} \ge 0;\)
Область определения: \(x − a \ne 0,\; x \ne a.\)
Если \(a = 5\), тогда:
\(\frac{x − 5}{x − 5} \ge 0;\)
\(1 \ge 0;\)
Решение существует для всех \(x \ne 5.\)

Ответ: \(x \in (−\infty; a) \cup [5; +\infty)\), если \(a < 5\);
\(x \in (−\infty; 5) \cup (5; +\infty)\), если \(a = 5\);
\(x \in (−\infty; 5] \cup (a; +\infty)\), если \(a > 5\).

7) \(\frac{(x + 1)(x − a)}{x + 1} \ge 0;\)
Область определения: \(x + 1 \ne 0,\; x \ne −1.\)
Неравенство:
\(x − a \ge 0;\)
\(x \ge a.\)

Ответ: \(x \in [a; −1) \cup (−1; +\infty)\), если \(a < −1\);
\(x \in (−1; +\infty)\), если \(a = −1\);
\(x \in [a; +\infty)\), если \(a > −1\).

8) \(\frac{(x + 1)(x − a)}{x − a} \le 0;\)
Область определения: \(x − a \ne 0,\; x \ne a.\)
Неравенство:
\(x + 1 \le 0;\)
\(x \le −1.\)

Ответ: \(x \in (−\infty; a) \cup (a; −1]\), если \(a < −1\);
\(x \in (−\infty; −1)\), если \(a = −1\);
\(x \in (−\infty; −1]\), если \(a > −1\).

1) \((x − 3)(x − a) < 0\)

Если \(a = 3\): \((x − 3)^{2} < 0\) — решений нет.
Если \(a < 3\): \(x \in (a; 3)\).
Если \(a > 3\): \(x \in (3; a)\).

Ответ: \(x \in (a; 3)\), если \(a < 3\); \(x \in \emptyset\), если \(a = 3\); \(x \in (3; a)\), если \(a > 3\).

2) \((x − 3)(x − a)^{2} > 0\)

Если \(a = 3\): \((x − 3)^{3} > 0 \Rightarrow x > 3\).
Если \(a < 3\): \(x > 3\).
Если \(a > 3\): \(x \in (3; a) \cup (a; +\infty)\).

Ответ: \(x \in (3; +\infty)\), если \(a \le 3\); \(x \in (3; a) \cup (a; +\infty)\), если \(a > 3\).

3) \((x − 3)(x − a)^{2} \ge 0\)

Если \(a = 3\): \(x \ge 3\).
Если \(a < 3\): \(x \in \{a\} \cup [3; +\infty)\).
Если \(a > 3\): \(x \in [3; +\infty)\).

Ответ: \(x \in \{a\} \cup [3; +\infty)\), если \(a < 3\); \(x \in [3; +\infty)\), если \(a \ge 3\).

4) \((x − a)(x + 5)^{2} < 0\)

Если \(a = -5\): \(x < -5\).
Если \(a \le -5\): \(x \in (-\infty; a)\).
Если \(a > -5\): \(x \in (-\infty; -5) \cup (-5; a)\).

Ответ: \(x \in (-\infty; a)\), если \(a \le -5\); \(x \in (-\infty; -5) \cup (-5; a)\), если \(a > -5\).

5) \((x − a)(x + 5)^{2} \le 0\)

Если \(a = -5\): \(x \le -5\).
Если \(a < -5\): \(x \in (-\infty; a] \cup \{-5\}\).
Если \(a \ge -5\): \(x \in (-\infty; a]\).

Ответ: \(x \in (-\infty; a] \cup \{-5\}\), если \(a < -5\); \(x \in (-\infty; a]\), если \(a \ge -5\).

6) \(\frac{x − 5}{x − a} \ge 0\), \(x \ne a\)

Если \(a = 5\): решений нет (знаменатель обнуляется).
Если \(a < 5\): \(x \in (-\infty; a) \cup [5; +\infty)\).
Если \(a > 5\): \(x \in (-\infty; 5] \cup (a; +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty; a) \cup [5; +\infty)\), если \(a < 5\); \(x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)\), если \(a = 5\); \(x \in (-\infty; 5] \cup (a; +\infty)\), если \(a > 5\).

7) \(\frac{(x + 1)(x − a)}{x + 1} \ge 0\), \(x \ne -1\)

Неравенство сводится к \(x \ge a\).
Если \(a < -1\): \(x \in [a; -1) \cup (-1; +\infty)\).
Если \(a = -1\): \(x \in (-1; +\infty)\).
Если \(a > -1\): \(x \in [a; +\infty)\).

Ответ: \(x \in [a; -1) \cup (-1; +\infty)\), если \(a < -1\); \(x \in (-1; +\infty)\), если \(a = -1\); \(x \in [a; +\infty)\), если \(a > -1\).

8) \(\frac{(x + 1)(x − a)}{x − a} \le 0\), \(x \ne a\)

Неравенство сводится к \(x \le -1\).
Если \(a < -1\): \(x \in (-\infty; a) \cup (a; -1]\).
Если \(a = -1\): \(x \in (-\infty; -1)\).
Если \(a > -1\): \(x \in (-\infty; -1]\).

Ответ: \(x \in (-\infty; a) \cup (a; -1]\), если \(a < -1\); \(x \in (-\infty; -1)\), если \(a = -1\); \(x \in (-\infty; -1]\), если \(a > -1\).