Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.25 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Для каждого значения a решите неравенство:
1) (x − 3)(x − a) < 0;
2) (x − 3)(x − a)² > 0;
3) (x − 3)(x − a)² ≥ 0;
4) (x − a)(x + 5)² < 0;
5) (x − a)(x + 5)² ≤ 0;
6) (x − 5)/(x − a) ≥ 0;
7) ((x + 1)(x − a))/(x + 1) ≥ 0;
8) ((x + 1)(x − a))/(x − a) ≤ 0;
Для каждого значения a решить неравенство:
1) (x − 3)(x − a) < 0;
Если a = 3, тогда:
(x − 3)(x − 3) < 0;
(x − 3)² < 0;
Решений нет.
Ответ: x ∈ (a; 3), если a < 3;
x ∈ ∅, если a = 3;
x ∈ (3; a), если a > 3.
2) (x − 3)(x − a)² > 0;
Если a = 3, тогда:
(x − 3)(x − 3)² > 0;
(x − 3)³ > 0;
x − 3 > 0;
x > 3.
Ответ: x ∈ (3; +∞), если a ≤ 3;
x ∈ (3; a) ∪ (a; +∞), если a > 3.
3) (x − 3)(x − a)² ≥ 0;
Если a = 3, тогда:
(x − 3)(x − 3)² ≥ 0;
(x − 3)³ ≥ 0;
x − 3 ≥ 0;
x ≥ 3.
Ответ: x ∈ {a} ∪ [3; +∞), если a < 3;
x ∈ [3; +∞), если a ≥ 3.
4) (x − a)(x + 5)² < 0;
Если a = −5, тогда:
(x + 5)(x + 5)² < 0;
(x + 5)³ < 0;
x + 5 < 0;
x < −5;
x < a.
Ответ: x ∈ (−∞; a), если a ≤ −5;
x ∈ (−∞; −5) ∪ (−5; a), если a > −5.
5) (x − a)(x + 5)² ≤ 0;
Если a = −5, тогда:
(x + 5)(x + 5)² ≤ 0;
(x + 5)³ ≤ 0;
x + 5 ≤ 0;
x ≤ −5;
x ≤ a.
Ответ: x ∈ (−∞; a] ∪ {−5}, если a < −5;
x ∈ (−∞; a], если a ≥ −5.
6) (x − 5)/(x − a) ≥ 0;
Область определения: x − a ≠ 0, x ≠ a.
Если a = 5, тогда:
(x − 5)/(x − 5) ≥ 0;
1 ≥ 0;
Решение существует для всех x ≠ 5.
Ответ: x ∈ (−∞; a) ∪ [5; +∞), если a < 5;
x ∈ (−∞; 5) ∪ (5; +∞), если a = 5;
x ∈ (−∞; 5] ∪ (a; +∞), если a > 5.
7) ((x + 1)(x − a))/(x + 1) ≥ 0;
Область определения: x + 1 ≠ 0, x ≠ −1.
Неравенство:
x − a ≥ 0;
x ≥ a.
Ответ: x ∈ [a; −1) ∪ (−1; +∞), если a < −1;
x ∈ (−1; +∞), если a = −1;
x ∈ [a; +∞), если a > −1.
8) ((x + 1)(x − a))/(x − a) ≤ 0;
Область определения: x − a ≠ 0, x ≠ a.
Неравенство:
x + 1 ≤ 0;
x ≤ −1.
Ответ: x ∈ (−∞; a) ∪ (a; −1], если a < −1;
x ∈ (−∞; −1), если a = −1;
x ∈ (−∞; −1], если a > −1.
Для каждого значения a решить неравенство:
1) (x − 3)(x − a) < 0;
Рассмотрим разные случаи:
- Если a = 3, тогда (x − 3)(x − 3) < 0, то есть (x − 3)² < 0 — решений нет, так как квадрат неотрицателен.
- Если a < 3, то выражение принимает отрицательные значения между a и 3:
Ответ: x ∈ (a; 3). - Если a > 3, то выражение отрицательно на промежутке (3; a):
Ответ: x ∈ (3; a).
Ответ:
x ∈ (a; 3), если a < 3;
x ∈ ∅, если a = 3;
x ∈ (3; a), если a > 3.
2) (x − 3)(x − a)² > 0;
- Если a = 3, тогда (x − 3)(x − 3)² > 0, то есть (x − 3)³ > 0, отсюда x > 3.
- Если a < 3, то выражение положительно при x > 3.
- Если a > 3, тогда выражение положительно при x > 3 и отдельно при x ∈ (3; a).
Ответ:
x ∈ (3; +∞), если a ≤ 3;
x ∈ (3; a) ∪ (a; +∞), если a > 3.
3) (x − 3)(x − a)² ≥ 0;
- Если a = 3, тогда (x − 3)³ ≥ 0, значит x ≥ 3.
- Если a < 3, тогда (x − a)² ≥ 0 всегда, и (x − 3) ≥ 0 — значит x ≥ 3, но при x = a, выражение тоже равно нулю, потому что квадрат.
- Если a > 3, аналогично, но x = a также даст ноль.
Ответ:
x ∈ {a} ∪ [3; +∞), если a < 3;
x ∈ [3; +∞), если a ≥ 3.
4) (x − a)(x + 5)² < 0;
- Если a = −5, тогда (x + 5)³ < 0, значит x < −5.
- Если a < −5, выражение отрицательно, когда x ∈ (−∞; a).
- Если a > −5, выражение отрицательно при x < −5 и при x ∈ (−5; a).
Ответ:
x ∈ (−∞; a), если a ≤ −5;
x ∈ (−∞; −5) ∪ (−5; a), если a > −5.
5) (x − a)(x + 5)² ≤ 0;
- Если a = −5, тогда (x + 5)³ ≤ 0, значит x ≤ −5.
- Если a < −5, выражение неположительно при x ∈ (−∞; a] ∪ {−5}.
- Если a ≥ −5, выражение неположительно при x ∈ (−∞; a].
Ответ:
x ∈ (−∞; a] ∪ {−5}, если a < −5;
x ∈ (−∞; a], если a ≥ −5.
6) (x − 5)/(x − a) ≥ 0;
ОДЗ: x ≠ a.
- Если a = 5, тогда (x − 5)/(x − 5) ≥ 0, но x ≠ 5 — решений нет, так как знаменатель обнуляется.
- Если a < 5, то выражение неотрицательно, если x ≤ a или x ≥ 5.
- Если a > 5, то выражение неотрицательно, если x ≤ 5 или x > a.
Ответ:
x ∈ (−∞; a) ∪ [5; +∞), если a < 5;
x ∈ (−∞; 5) ∪ (5; +∞), если a = 5;
x ∈ (−∞; 5] ∪ (a; +∞), если a > 5.
7) ((x + 1)(x − a)) / (x + 1) ≥ 0;
ОДЗ: x ≠ −1.
- Рассматриваем неравенство x − a ≥ 0 ⟹ x ≥ a.
- Если a < −1, то промежутки x ∈ [a; −1) ∪ (−1; +∞).
- Если a = −1, x ∈ (−1; +∞).
- Если a > −1, x ∈ [a; +∞).
Ответ:
x ∈ [a; −1) ∪ (−1; +∞), если a < −1;
x ∈ (−1; +∞), если a = −1;
x ∈ [a; +∞), если a > −1.
8) ((x + 1)(x − a)) / (x − a) ≤ 0;
ОДЗ: x ≠ a.
- Рассматриваем неравенство x + 1 ≤ 0 ⟹ x ≤ −1.
- Если a < −1, x ∈ (−∞; a) ∪ (a; −1].
- Если a = −1, x ∈ (−∞; −1).
- Если a > −1, x ∈ (−∞; −1].
Ответ:
x ∈ (−∞; a) ∪ (a; −1], если a < −1;
x ∈ (−∞; −1), если a = −1;
x ∈ (−∞; −1], если a > −1.
Алгебра
