ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \(\frac{x + 3}{x — 1} > 0\);

2) \(\frac{x — 4}{x} \geq 0\);

3) \(\frac{(x — 2)(x + 1)}{x — 4} < 0\);

4) \(\frac{(x + 1.2)(x — 1.6)}{x — 1.4} \leq 0\);

5) \(\frac{(3x — 2)(4 — x)}{(x + 3)(x — 1)} > 0\);

6) \(\frac{(x + 1)(3 — x)}{(3x — 2)(4 — 3x)} \geq 0\);

1) \(\frac{x + 3}{x — 1} > 0\)
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-3) \cup (1;\,+\infty)\).

2) \(\frac{x — 4}{x} \ge 0\)
Ответ: \(x \in (-\infty;\,0) \cup [4;\,+\infty)\).

3) \(\frac{(x — 2)(x + 1)}{x — 4} < 0\)
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-1) \cup (2;\,4)\).

4) \(\frac{(x + 1,2)(x — 1,6)}{x — 1,4} \le 0\)
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-1,2] \cup [1,4;\,1,6)\).

5) \(\frac{(3x — 2)(4 — x)}{(x + 3)(x — 1)} > 0\)
\(\frac{-\,(x — 4)\cdot 3\left(x — \frac{2}{3}\right)}{(x + 3)(x — 1)} > 0 \;\Rightarrow\; \frac{\left(x — \frac{2}{3}\right)(x — 4)}{(x + 3)(x — 1)} < 0\)
Ответ: \(x \in (-3;\,\frac{2}{3}) \cup (1;\,4)\).

6) \(\frac{(x + 1)(3 — x)}{(3x — 2)(4 — 3x)} \ge 0\)
\(\frac{-\,(x — 3)(x + 1)}{\left(x — \frac{2}{3}\right)\left(x — \frac{1}{3}\right)} \ge 0\)
Ответ: \(x \in (-\infty;\,-1] \cup \left(\frac{2}{3};\,1 \frac{1}{3}\right) \cup [3;\,+\infty)\).

1) \(\frac{x + 3}{x — 1} > 0\)
Рассмотрим неравенство \(\frac{x + 3}{x — 1} > 0\). Это дробь будет положительной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:
— Когда \(x < -3\), и числитель, и знаменатель будут отрицательными, и дробь будет положительной.
— Когда \(x \in (-3;\,1)\), числитель \((x + 3)\) будет положительным, а знаменатель \((x — 1)\) отрицательным, и дробь будет отрицательной.
— Когда \(x > 1\), числитель \((x + 3)\) и знаменатель \((x — 1)\) оба положительные, и дробь будет положительной.
Таким образом, решение: \(x \in (-\infty;\,-3) \cup (1;\,+\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty;\,-3) \cup (1;\,+\infty)\).

2) \(\frac{x — 4}{x} \ge 0\)
Рассмотрим неравенство \(\frac{x — 4}{x} \ge 0\). Это дробь будет неотрицательной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:
— Когда \(x < 0\), и числитель \((x — 4)\), и знаменатель \(x\) будут отрицательными, и дробь будет положительной.
— Когда \(x = 0\), выражение не имеет смысла, так как деление на ноль невозможно.
— Когда \(x > 4\), числитель \((x — 4)\) и знаменатель \(x\) оба положительные, и дробь будет положительной.
— Когда \(x \in (0;\,4)\), числитель \((x — 4)\) будет отрицательным, а знаменатель \(x\) положительным, и дробь будет отрицательной.
Таким образом, решение: \(x \in (-\infty;\,0) \cup [4;\,+\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty;\,0) \cup [4;\,+\infty)\).

3) \(\frac{(x — 2)(x + 1)}{x — 4} < 0\)
Рассмотрим неравенство \(\frac{(x — 2)(x + 1)}{x — 4} < 0\). Дробь будет отрицательной, если числитель и знаменатель имеют противоположные знаки:
— Когда \(x < -1\), все множители \((x — 2)\), \((x + 1)\) и \((x — 4)\) будут отрицательными, и произведение будет положительным.
— Когда \(x \in (-1;\,2)\), числитель \((x — 2)\) будет отрицательным, а \((x + 1)\) положительным, и дробь будет отрицательной.
— Когда \(x \in (2;\,4)\), числитель и знаменатель будут иметь одинаковые знаки, и дробь будет положительной.
— Когда \(x > 4\), числитель и знаменатель будут положительными, и дробь будет положительной.
Таким образом, решение: \(x \in (-\infty;\,-1) \cup (2;\,4)\).

Ответ: \(x \in (-\infty;\,-1) \cup (2;\,4)\).

4) \(\frac{(x + 1,2)(x — 1,6)}{x — 1,4} \le 0\)
Рассмотрим неравенство \(\frac{(x + 1,2)(x — 1,6)}{x — 1,4} \le 0\). Дробь будет отрицательной или равной нулю, если числитель и знаменатель имеют противоположные знаки или числитель равен нулю:
— Когда \(x \in (-\infty;\,-1,2)\), числитель и знаменатель оба отрицательные, и дробь будет положительной.
— Когда \(x \in [-1,2;\,1,4)\), числитель и знаменатель будут иметь противоположные знаки, и дробь будет отрицательной.
— Когда \(x \in (1,4;\,1,6)\), числитель и знаменатель будут иметь одинаковые знаки, и дробь будет положительной.
— Когда \(x = 1,6\), числитель равен нулю, и дробь будет равна нулю.
Таким образом, решение: \(x \in (-\infty;\,-1,2] \cup [1,4;\,1,6)\).

Ответ: \(x \in (-\infty;\,-1,6] \cup [1,4;\,1,6)\).

5) \(\frac{(3x — 2)(4 — x)}{(x + 3)(x — 1)} > 0\)
Рассмотрим неравенство \(\frac{(3x — 2)(4 — x)}{(x + 3)(x — 1)} > 0\). Дробь будет положительной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:
— Когда \(x \in (-\infty;\,-3)\), все множители будут отрицательными, и дробь будет положительной.
— Когда \(x \in (-3;\,1)\), числитель и знаменатель будут иметь противоположные знаки, и дробь будет отрицательной.
— Когда \(x \in (1;\,4)\), числитель и знаменатель будут иметь одинаковые знаки, и дробь будет положительной.
— Когда \(x > 4\), числитель и знаменатель будут положительными, и дробь будет положительной.
Таким образом, решение: \(x \in (-\infty;\,-3) \cup (1;\,4)\).

Ответ: \(x \in (-3;\,\frac{2}{3}) \cup (1;\,4)\).

6) \(\frac{(x + 1)(3 — x)}{(3x — 2)(4 — 3x)} \ge 0\)
Рассмотрим неравенство \(\frac{(x + 1)(3 — x)}{(3x — 2)(4 — 3x)} \ge 0\). Дробь будет положительной или равной нулю, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:
— Когда \(x < -1\), числитель и знаменатель будут отрицательными, и дробь будет положительной.
— Когда \(x \in (-1;\,\frac{2}{3})\), числитель и знаменатель будут иметь противоположные знаки, и дробь будет отрицательной.
— Когда \(x \in (\frac{2}{3};\,1)\), числитель и знаменатель будут иметь одинаковые знаки, и дробь будет положительной.
— Когда \(x > 1\), числитель и знаменатель будут положительными, и дробь будет положительной.
Таким образом, решение: \(x \in (-\infty;\,-1] \cup \left(\frac{2}{3};\,1\right) \cup [3;\,+\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty;\,-1] \cup \left(\frac{2}{3};\, 1\frac{1}{3}\right) \cup [3;\,+\infty)\).