Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) (x+2)(x^2-1) > 0; 4) (x^2-4)/(x^2-9) > 0;
2) (x^2-4x+3)(x^2+3x+2)?0; 5) (x^2-3x)/(x^2-8x+7)?0;
3) 4x^3-25x < 0; 6) (2x^2-5x+2)/(x^2-3x-4)?0.
Решить неравенство:
1) (x + 2)(x² – 1) > 0;
(x + 2)(x + 1)(x – 1) > 0;
Ответ: x ∈ (–2; –1) ∪ (1; +∞).
2) (x² – 4x + 3)(x² + 3x + 2) ≥ 0;
Первое выражение:
x² – 4x + 3 = 0;
D = 4² – 4 · 1 · 3 = 16 – 12 = 4, тогда:
x₁ = (4 – 2) / 2 = 1 и x₂ = (4 + 2) / 2 = 3;
Второе выражение:
x² + 3x + 2 = 0;
D = 3² – 4 · 1 · 2 = 9 – 8 = 1, тогда:
x₁ = (–3 – 1) / 2 = –2 и x₂ = (–3 + 1) / 2 = –1.
Неравенство:
(x + 2)(x + 1)(x – 3) ≥ 0;
Ответ: x ∈ (–∞; –2] ∪ [1; 3].
3) 4x³ – 25x < 0;
4x(x² – 25) < 0;
x(x – 5)(x + 5) < 0;
Ответ: x ∈ (–∞; –5) ∪ (–5; 5).
4) (x + 1)(x – 2) ≥ 0;
(x + 1)(x – 2) ≥ 0;
Ответ: x ∈ (–∞; –1] ∪ [2; +∞).
5) x² – 3x / x² – 8x + 7 ≤ 0;
Второе выражение:
x² – 8x + 7 = 0;
D = 8² – 4 · 1 · 7 = 64 – 28 = 36, тогда:
x₁ = (8 – 6) / 2 = 1 и x₂ = (8 + 6) / 2 = 7;
Неравенство:
(x – 1)(x – 7) / (x – 3) ≤ 0;
Ответ: x ∈ [0; 1) ∪ [3; 7).
6) 2x² – 5x + 2 ≥ 0;
x² – 3x – 4 = 0;
D = 3² – 4 · 1 · (–4) = 9 + 16 = 25, тогда:
x₁ = (–3 – 5) / 2 = –4 и x₂ = (–3 + 5) / 2 = 1.
Неравенство:
(x – 1)(x – 4) ≥ 0;
Ответ: x ∈ (–∞; –1) ∪ [0,5; 2] ∪ (4; +∞).
Решить неравенство:
1) (x + 2)(x² – 1) > 0;
Рассмотрим выражение (x + 2)(x² – 1) > 0. Мы видим, что x² – 1 = (x + 1)(x – 1). Таким образом, неравенство примет вид:
(x + 2)(x + 1)(x – 1) > 0.
Рассмотрим, когда это произведение будет положительным. Чтобы произведение трёх чисел было положительным, количество отрицательных множителей должно быть чётным (0 или 2 отрицательных множителя):
— Когда x < –2, все множители будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (–2; –1), (x + 2) положительный, а (x + 1) и (x – 1) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (–1; 1), (x + 2) и (x + 1) положительные, а (x – 1) отрицательное, и произведение будет отрицательным. — Когда x > 1, все множители положительные, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: x ∈ (–2; –1) ∪ (1; +∞).
Ответ: x ∈ (–2; –1) ∪ (1; +∞).
2) (x² – 4x + 3)(x² + 3x + 2) ≥ 0;
Рассмотрим первое выражение x² – 4x + 3. Разложим его на множители:
x² – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3).
Теперь рассмотрим второе выражение x² + 3x + 2. Разложим его на множители:
x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
Таким образом, неравенство примет вид:
(x – 1)(x – 3)(x + 1)(x + 2) ≥ 0.
Рассмотрим, когда произведение четырёх чисел будет положительным или равным нулю. Это будет происходить, когда количество отрицательных множителей чётное (0 или 2):
— Когда x ∈ (–∞; –2), все множители отрицательные, и произведение положительное.
— Когда x ∈ (–2; –1), (x + 2) и (x + 1) отрицательные, а (x – 1) и (x – 3) положительные, и произведение отрицательное.
— Когда x ∈ (–1; 1), (x + 2) и (x – 1) положительные, а (x + 1) и (x – 3) отрицательные, и произведение отрицательное.
— Когда x ∈ (1; 3), (x + 2) и (x + 1) положительные, а (x – 1) и (x – 3) отрицательные, и произведение положительное.
— Когда x > 3, все множители положительные, и произведение положительное.
Таким образом, решение: x ∈ (–∞; –2] ∪ [1; 3].
Ответ: x ∈ (–∞; –2] ∪ [1; 3].
3) 4x³ – 25x < 0;
Рассмотрим неравенство 4x³ – 25x < 0. Вынесем x за скобки:
x(4x² – 25) < 0.
Теперь разложим 4x² – 25 на множители:
x(2x – 5)(2x + 5) < 0. Рассмотрим, когда произведение трёх чисел будет отрицательным. Мы ищем, когда количество отрицательных множителей нечётное (1 или 3 отрицательных множителя): — Когда x ∈ (–∞; –5/2), все множители будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (–5/2; 0), (x) отрицательный, а (2x – 5) и (2x + 5) положительные, и произведение будет отрицательным. — Когда x ∈ (0; 5/2), (x) положительный, а (2x – 5) и (2x + 5) отрицательные, и произведение будет отрицательным. — Когда x > 5/2, все множители положительные, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: x ∈ (–5/2; 0) ∪ (0; 5/2).
Ответ: x ∈ (–5/2; 0) ∪ (0; 5/2).
4) (x + 1)(x – 2) ≥ 0;
Рассмотрим неравенство (x + 1)(x – 2) ≥ 0. Это произведение будет неотрицательным, если количество отрицательных множителей чётное (0 или 2):
— Когда x < –1, и (x + 1), и (x – 2) отрицательные, и произведение положительное. — Когда x ∈ [–1; 2], числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, и произведение положительное. — Когда x > 2, все множители положительные, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: x ∈ (–∞; –1] ∪ [2; +∞).
Ответ: x ∈ (–∞; –1] ∪ [2; +∞).
5) x² – 3x / x² – 8x + 7 ≤ 0;
Рассмотрим выражение:
x² – 3x / (x² – 8x + 7).
Мы ищем, когда дробь будет меньше или равна нулю. Для этого числитель и знаменатель должны иметь противоположные знаки. Рассмотрим знаменатель:
x² – 8x + 7 = (x – 1)(x – 7).
Таким образом, неравенство примет вид:
(x – 1)(x – 7) / (x – 1)(x – 7) ≤ 0.
Ответ: x ∈ [0; 1) ∪ [3; 7).
Ответ: x ∈ [0; 1) ∪ [3; 7).
6) 2x² – 5x + 2 ≥ 0;
x² – 3x – 4 = 0;
D = 3² – 4 · 1 · (–4) = 9 + 16 = 25, тогда:
x₁ = (–3 – 5) / 2 = –4 и x₂ = (–3 + 5) / 2 = 1.
Неравенство:
(x – 1)(x – 4) ≥ 0;
Ответ: x ∈ (–∞; –1) ∪ [0,5; 2] ∪ (4; +∞).
Алгебра
