ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x + 2)(x^2 — 1) > 0\);

2) \((x^2 — 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) ≥ 0\);

3) \(4x^3 — 25x < 0\);

4) \(\frac{x^2 — 4}{x^2 — 9} > 0\);

5) \(\frac{x^2 — 3x}{x^2 — 8x + 7} \leq 0\);

6) \(\frac{2x^2 — 5x + 2}{x^2 — 3x — 4} \geq 0\);

1) \( (x + 2)(x^2 — 1) > 0 \);
\( (x + 2)(x + 1)(x — 1) > 0 \);
Ответ: \( x \in (-2; -1) \cup (1; +\infty) \).

2) \( (x^2 — 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \ge 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 — 4x + 3 = 0 \);
\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \), тогда:
\( x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \);

Второе выражение:
\( x^2 + 3x + 2 = 0 \);
\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \);

Неравенство:
\( (x + 2)(x + 1)(x — 3) \ge 0 \);

Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup [3; +\infty) \).

3) \( 4x^3 — 25x < 0 \);
\( 4x(x^2 — 25) < 0 \);
\( x(x — 5)(x + 5) < 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -2,5) \cup (0; 2,5) \).

4) \( \frac{x^2 — 4}{x^2 — 9} > 0 \);
\( \frac{(x + 2)(x — 2)}{(x + 3)(x — 3)} > 0 \);
\( (x + 3)(x + 2)(x — 2)(x — 3) > 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; +\infty) \).

5) \( \frac{x^2 — 3x}{x^2 — 8x + 7} \le 0 \);
Второе выражение:
\( x^2 — 8x + 7 = 0 \);
\( D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36 \), тогда:
\( x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7 \);

Неравенство:
\( \frac{(x — 1)(x — 7)}{x — 3} \le 0 \);
Ответ: \( x \in [0; 1) \cup [3; 7) \).

6) \( 2x^2 — 5x + 2 \ge 0 \);
\( x^2 — 3x — 4 = 0 \);
\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \);

Неравенство:
\( (x — 1)(x — 4) \ge 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup [0,5; 2] \cup (4; +\infty) \).

Решить неравенство:

1) \( (x + 2)(x^2 — 1) > 0 \);
Рассмотрим выражение \( (x + 2)(x^2 — 1) > 0 \). Мы видим, что \( x^2 — 1 = (x + 1)(x — 1) \). Таким образом, неравенство примет вид:
\( (x + 2)(x + 1)(x — 1) > 0 \).
Рассмотрим, когда это произведение будет положительным. Чтобы произведение трёх чисел было положительным, количество отрицательных множителей должно быть чётным (0 или 2 отрицательных множителя):
— Когда \( x < -2 \), все множители будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-2; -1) \), \( (x + 2) \) положительный, а \( (x + 1) \) и \( (x — 1) \) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-1; 1) \), \( (x + 2) \) и \( (x + 1) \) положительные, а \( (x — 1) \) отрицательное, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 1 \), все множители положительные, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in (-2; -1) \cup (1; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-2; -1) \cup (1; +\infty) \).

2) \( (x^2 — 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \ge 0 \);
Рассмотрим первое выражение \( x^2 — 4x + 3 \). Разложим его на множители:
\( x^2 — 4x + 3 = (x — 1)(x — 3) \).
Теперь рассмотрим второе выражение \( x^2 + 3x + 2 \). Разложим его на множители:
\( x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \).
Таким образом, неравенство примет вид:
\( (x — 1)(x — 3)(x + 1)(x + 2) \ge 0 \).
Рассмотрим, когда произведение четырёх чисел будет положительным или равным нулю. Это будет происходить, когда количество отрицательных множителей чётное (0 или 2):
— Когда \( x \in (-\infty; -2) \), все множители отрицательные, и произведение положительное.
— Когда \( x \in (-2; -1) \), \( (x + 2) \) и \( (x + 1) \) отрицательные, а \( (x — 1) \) и \( (x — 3) \) положительные, и произведение отрицательное.
— Когда \( x \in (-1; 1) \), \( (x + 2) \) и \( (x — 1) \) положительные, а \( (x + 1) \) и \( (x — 3) \) отрицательные, и произведение отрицательное.
— Когда \( x \in (1; 3) \), \( (x + 2) \) и \( (x + 1) \) положительные, а \( (x — 1) \) и \( (x — 3) \) отрицательные, и произведение положительное.
— Когда \( x > 3 \), все множители положительные, и произведение положительное.
Таким образом, решение: \( x \in (-\infty; -2] \cup [1; 3] \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup [3; +\infty) \).

3) \( 4x^3 — 25x < 0 \);
Рассмотрим неравенство \( 4x^3 — 25x < 0 \). Вынесем \( x \) за скобки:
\( x(4x^2 — 25) < 0 \).
Теперь разложим \( 4x^2 — 25 \) на множители:
\( x(2x — 5)(2x + 5) < 0 \). Рассмотрим, когда произведение трёх чисел будет отрицательным. Мы ищем, когда количество отрицательных множителей нечётное (1 или 3 отрицательных множителя): — Когда \( x \in (-\infty; -\frac{5}{2}) \), все множители будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-\frac{5}{2}; 0) \), \( x \) отрицательный, а \( 2x — 5 \) и \( 2x + 5 \) положительные, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x \in (0; \frac{5}{2}) \), \( x \) положительный, а \( 2x — 5 \) и \( 2x + 5 \) отрицательные, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > \frac{5}{2} \), все множители положительные, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in \left(-\frac{5}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{5}{2}\right) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -2,5) \cup (0; 2,5) \).

4) \( \frac{x^2 — 4}{x^2 — 9} > 0 \).

Шаг 1. Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю:
\( x^2 — 9 \ne 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \ne 0 \Rightarrow x \ne -3,\; x \ne 3 \).
Значит, ОДЗ: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\,3\} \).

Шаг 2. Факторизация числителя и знаменателя.
\( x^2 — 4 = (x-2)(x+2) \), \( x^2 — 9 = (x-3)(x+3) \).
Неравенство принимает вид
\( \frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)} > 0 \).

Шаг 3. Критические точки и разбиение оси.
Корни числителя: \( x=-2,\; x=2 \) (в этих точках дробь равна нулю).
Нули знаменателя: \( x=-3,\; x=3 \) (в этих точках выражение не определено).
Эти точки разбивают ось на интервалы:
\( (-\infty,-3),\; (-3,-2),\; (-2,2),\; (2,3),\; (3,+\infty) \).

Шаг 4. Знаковый анализ (правило «чётного числа минусов»).
Рассмотрим множители \( (x+3),(x+2),(x-2),(x-3) \) по интервалам.

Для \( x \in (-\infty,-3) \): знаки \( (-)(-)(-)(-) \Rightarrow \) произведение положительно.
Для \( x \in (-3,-2) \): \( (x+3)>0,\; (x+2)<0,\; (x-2)<0,\; (x-3)<0 \Rightarrow \) три минуса ⇒ произведение отрицательно.
Для \( x \in (-2,2) \): \( (x+3)>0,\; (x+2)>0,\; (x-2)<0,\; (x-3)<0 \Rightarrow \) два минуса ⇒ произведение положительно.
Для \( x \in (2,3) \): \( (x+3)>0,\; (x+2)>0,\; (x-2)>0,\; (x-3)<0 \Rightarrow \) один минус ⇒ произведение отрицательно.
Для \( x \in (3,+\infty) \): все множители положительны ⇒ произведение положительно.

Шаг 5. Учет строгого знака и особых точек.
Нам нужно «строго больше нуля», поэтому корни числителя \( x=\pm 2 \) исключаются (там значение равно нулю).
Точки \( x=\pm 3 \) исключаются по ОДЗ (деление на ноль).

Вывод. Неравенство выполняется на интервалах, где дробь положительна:
\( x \in (-\infty,-3) \cup (-2,2) \cup (3,+\infty) \).
\( \frac{x^2-4}{x^2-9} > 0 \;\Rightarrow\; (x+3)(x+2)(x-2)(x-3) > 0 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; +\infty) \).

5) \( \frac{x^2 — 3x}{x^2 — 8x + 7} \le 0 \);
Рассмотрим выражение:
\( \frac{x^2 — 3x}{x^2 — 8x + 7} \).
Мы ищем, когда дробь будет меньше или равна нулю. Для этого числитель и знаменатель должны иметь противоположные знаки. Рассмотрим знаменатель:
\( x^2 — 8x + 7 = (x — 1)(x — 7) \).
Таким образом, неравенство примет вид:
\( \frac{(x — 1)(x — 7)}{(x — 1)(x — 7)} \le 0 \).
Ответ: \( x \in [0; 1) \cup [3; 7) \).
Ответ: \( x \in [0; 1) \cup [3; 7) \).

6) \( 2x^2 — 5x + 2 \ge 0 \);
\( x^2 — 3x — 4 = 0 \);
\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \).

Неравенство:
\( (x — 1)(x — 4) \ge 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup [0,5; 2] \cup (4; +\infty) \).