Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите множество решений неравенства:
1) \((x^2 — 64)(x^2 — 10x + 9) ≥ 0\);
2) \((x^2 + 7x)(x^2 — 7x + 6) < 0\);
3) \(\frac{x^2 — x — 12}{x^2 — 36} \leq 0\);
4) \(\frac{3x^2 + 2x — 1}{4x^2 — x — 3} \geq 0\);
Найти множество решений неравенства:
1) \( (x^2 — 64)(x^2 — 10x + 9) \ge 0 \);
Второе выражение:
\( x^2 — 10x + 9 = 0 \);
\( D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64 \), тогда:
\( x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9 \).
Неравенство:
\( (x + 8)(x — 1)(x — 8)(x — 9) \ge 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -8) \cup [1; 8] \cup [9; +\infty) \).
2) \( (x^2 + 7x)(x^2 — 7x + 6) < 0 \);
Второе выражение:
\( x^2 — 7x + 6 = 0 \);
\( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 — 24 = 25 \), тогда:
\( x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6 \).
Неравенство:
\( (x + 7)(x — 1)(x — 6) < 0 \);
Ответ: \( x \in (-7; 0) \cup (1; 6) \).
3) \( \frac{x^2 — x — 12}{x^2 — 36} \le 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 — x — 12 = 0 \);
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \), тогда:
\( x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4 \).
Неравенство:
\( \frac{(x + 3)(x — 4)}{(x — 6)(x + 6)} \le 0 \);
Ответ: \( x \in (-6; -3] \cup [4; 6) \).
4) \( \frac{3x^2 + 2x — 1}{4x^2 — x — 3} \ge 0 \);
Первое выражение:
\( 3x^2 + 2x — 1 = 0 \);
\( D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 — 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \),
\( x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
Ответ: \( x \in [-\infty; -1] \cup [-0{,}75; \frac{1}{3}] \cup (1; +\infty) \).
Найти множество решений неравенства:
1) \( (x^2 — 64)(x^2 — 10x + 9) \ge 0 \);
Рассмотрим первое выражение \( x^2 — 64 \). Мы можем разложить его на множители:
\( x^2 — 64 = (x — 8)(x + 8) \).
Теперь рассмотрим второе выражение \( x^2 — 10x + 9 \). Мы разложим его на множители:
\( x^2 — 10x + 9 = (x — 1)(x — 9) \).
Таким образом, неравенство примет вид:
\( (x — 8)(x + 8)(x — 1)(x — 9) \ge 0 \).
Теперь будем рассматривать знаки на интервалах, определённых корнями:
— Когда \( x < -8 \), все множители \( (x — 8) \), \( (x + 8) \), \( (x — 1) \) и \( (x — 9) \) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-8; -1) \), \( (x — 8) \) и \( (x — 9) \) отрицательные, а \( (x + 8) \) и \( (x — 1) \) положительные, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x \in (-1; 1) \), \( (x — 8) \) и \( (x — 9) \) положительные, а \( (x + 8) \) и \( (x — 1) \) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (1; 9) \), \( (x — 8) \), \( (x + 8) \) и \( (x — 1) \) положительные, а \( (x — 9) \) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 9 \), все множители будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in (-\infty; -8] \cup [1; 9] \cup [9; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -8] \cup [1; 9] \cup [9; +\infty) \).
2) \( (x^2 + 7x)(x^2 — 7x + 6) < 0 \);
Рассмотрим первое выражение \( x^2 + 7x \). Мы можем вынести \( x \) за скобки:
\( x(x + 7) \).
Теперь рассмотрим второе выражение \( x^2 — 7x + 6 \). Мы разложим его на множители:
\( x^2 — 7x + 6 = (x — 1)(x — 6) \).
Таким образом, неравенство примет вид:
\( x(x + 7)(x — 1)(x — 6) < 0 \).
Рассмотрим знаки на интервалах, определённых корнями:
— Когда \( x < -7 \), все множители будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-7; 0) \), \( (x + 7) \) и \( (x — 6) \) положительные, а \( x \) и \( (x — 1) \) отрицательные, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x \in (0; 1) \), \( x \) и \( (x — 1) \) положительные, а \( (x + 7) \) и \( (x — 6) \) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (1; 6) \), \( x \) и \( (x + 7) \) положительные, а \( (x — 1) \) и \( (x — 6) \) отрицательные, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 6 \), все множители будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in (-7; 0) \cup (1; 6) \).
Ответ: \( x \in (-7; 0) \cup (1; 6) \).
3) \( \frac{x^2 — x — 12}{x^2 — 36} \le 0 \);
Рассмотрим числитель \( x^2 — x — 12 \). Мы разложим его на множители:
\( x^2 — x — 12 = (x — 4)(x + 3) \).
Теперь рассмотрим знаменатель \( x^2 — 36 \). Мы разложим его на множители:
\( x^2 — 36 = (x — 6)(x + 6) \).
Таким образом, неравенство примет вид:
\( \frac{(x — 4)(x + 3)}{(x — 6)(x + 6)} \le 0 \).
Рассмотрим знаки на интервалах, определённых корнями:
— Когда \( x < -6 \), все множители \( (x — 4) \), \( (x + 3) \), \( (x — 6) \) и \( (x + 6) \) будут отрицательными, и дробь будет положительной. — Когда \( x \in (-6; -3) \), \( (x — 4) \) и \( (x + 3) \) положительные, а \( (x — 6) \) и \( (x + 6) \) отрицательные, и дробь будет отрицательной. — Когда \( x \in (-3; 4) \), \( (x — 4) \) и \( (x + 3) \) положительные, а \( (x — 6) \) и \( (x + 6) \) положительные, и дробь будет положительной. — Когда \( x \in (4; 6) \), \( (x — 4) \) и \( (x + 3) \) положительные, а \( (x — 6) \) и \( (x + 6) \) отрицательные, и дробь будет отрицательной. — Когда \( x > 6 \), все множители положительные, и дробь будет положительной.
Таким образом, решение: \( x \in (-6; -3] \cup (4; 6) \).
Ответ: \( x \in (-6; -3] \cup (4; 6) \).
4) \( \frac{3x^2 + 2x — 1}{4x^2 — x — 3} \ge 0 \);
Рассмотрим числитель \( 3x^2 + 2x — 1 \). Мы решим уравнение \( 3x^2 + 2x — 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\( D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2\cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 \) и \( x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2\cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
Таким образом, числитель разлагается как:
\( 3(x + 1)(x — \frac{1}{3}) \).
Теперь рассмотрим знаменатель \( 4x^2 — x — 3 \). Мы решим уравнение \( 4x^2 — x — 3 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \), тогда:
\( x_1 = \frac{1 — 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \) и \( x_2 = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1 \).
Таким образом, знаменатель разлагается как:
\( 4\left(x + \frac{3}{4}\right)\!(x — 1) \).
Теперь рассмотрим неравенство:
\( \frac{3(x + 1)\left(x — \frac{1}{3}\right)}{4\left(x + \frac{3}{4}\right)(x — 1)} \ge 0 \).
Ответ: \( x \in [-\infty; -1] \cup \left[-\frac{3}{4}; \frac{1}{3}\right] \cup (1; +\infty) \).
