Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите множество решений неравенства:
1) (x^2-64)(x^2-10x+9)?0; 3) (x^2-x-12)/(x^2-36)?0;
2) (x^2+7x)(x^2-7x+6) < 0; 4) (3x^2+2x-1)/(4x^2-x-3)?0.
Найти множество решений неравенства:
1) (x² – 64)(x² – 10x + 9) ≥ 0;
Второе выражение:
x² – 10x + 9 = 0;
D = 10² – 4 · 1 · 9 = 100 – 36 = 64, тогда:
x₁ = (10 – 8) / 2 = 1 и x₂ = (10 + 8) / 2 = 9.
Неравенство:
(x + 8)(x – 1)(x – 8)(x – 9) ≥ 0;
Ответ: x ∈ (–∞; –8) ∪ [1; 8] ∪ [9; +∞).
2) (x² + 7x)(x² – 7x + 6) < 0;
Второе выражение:
x² – 7x + 6 = 0;
D = 7² – 4 · 1 · 6 = 49 – 24 = 25, тогда:
x₁ = (7 – 5) / 2 = 1 и x₂ = (7 + 5) / 2 = 6.
Неравенство:
(x + 7)(x – 1)(x – 6) < 0;
Ответ: x ∈ (–7; 0) ∪ (1; 6).
3) x² – x – 12 / x² – 36 ≤ 0;
Первое выражение:
x² – x – 12 = 0;
D = (–1)² – 4 · 1 · (–12) = 1 + 48 = 49, тогда:
x₁ = (1 – 7) / 2 = –3 и x₂ = (1 + 7) / 2 = 4.
Неравенство:
(x + 3)(x – 4) / (x – 6)(x + 6) ≤ 0;
Ответ: x ∈ (–6; –3] ∪ [4; 6).
4) 3x² + 2x – 1 / 4x² – x – 3 ≥ 0;
Первое выражение:
3x² + 2x – 1 = 0;
D = 2² – 4 · 3 · (–1) = 4 + 12 = 16, тогда:
x₁ = (–2 – √16) / (2·3) = (–2 – 4) / 6 = –6 / 6 = –1,
x₂ = (–2 + √16) / (2·3) = (–2 + 4) / 6 = 2 / 6 = 1/3.
Ответ: x ∈ [–∞; –1] ∪ [–0,75; 1/3] ∪ (1; +∞).
Найти множество решений неравенства:
1) (x² – 64)(x² – 10x + 9) ≥ 0;
Рассмотрим первое выражение x² – 64. Мы можем разложить его на множители:
x² – 64 = (x – 8)(x + 8).
Теперь рассмотрим второе выражение x² – 10x + 9. Мы разложим его на множители:
x² – 10x + 9 = (x – 1)(x – 9).
Таким образом, неравенство примет вид:
(x – 8)(x + 8)(x – 1)(x – 9) ≥ 0.
Теперь будем рассматривать знаки на интервалах, определённых корнями:
— Когда x < –8, все множители (x – 8), (x + 8), (x – 1) и (x – 9) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (–8; –1), (x – 8) и (x – 9) отрицательные, а (x + 8) и (x – 1) положительные, и произведение будет отрицательным. — Когда x ∈ (–1; 1), (x – 8) и (x – 9) положительные, а (x + 8) и (x – 1) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (1; 9), (x – 8), (x + 8) и (x – 1) положительные, а (x – 9) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда x > 9, все множители будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: x ∈ (–∞; –8] ∪ [1; 9] ∪ [9; +∞).
Ответ: x ∈ (–∞; –8] ∪ [1; 9] ∪ [9; +∞).
2) (x² + 7x)(x² – 7x + 6) < 0;
Рассмотрим первое выражение x² + 7x. Мы можем вынести x за скобки:
x(x + 7).
Теперь рассмотрим второе выражение x² – 7x + 6. Мы разложим его на множители:
x² – 7x + 6 = (x – 1)(x – 6).
Таким образом, неравенство примет вид:
x(x + 7)(x – 1)(x – 6) < 0.
Рассмотрим знаки на интервалах, определённых корнями:
— Когда x < –7, все множители будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (–7; 0), (x + 7) и (x – 6) положительные, а (x) и (x – 1) отрицательные, и произведение будет отрицательным. — Когда x ∈ (0; 1), (x) и (x – 1) положительные, а (x + 7) и (x – 6) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (1; 6), (x) и (x + 7) положительные, а (x – 1) и (x – 6) отрицательные, и произведение будет отрицательным. — Когда x > 6, все множители будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: x ∈ (–7; 0) ∪ (1; 6).
Ответ: x ∈ (–7; 0) ∪ (1; 6).
3) x² – x – 12 / x² – 36 ≤ 0;
Рассмотрим числитель x² – x – 12. Мы разложим его на множители:
x² – x – 12 = (x – 4)(x + 3).
Теперь рассмотрим знаменатель x² – 36. Мы разложим его на множители:
x² – 36 = (x – 6)(x + 6).
Таким образом, неравенство примет вид:
(x – 4)(x + 3) / (x – 6)(x + 6) ≤ 0.
Рассмотрим знаки на интервалах, определённых корнями:
— Когда x < –6, все множители (x – 4), (x + 3), (x – 6) и (x + 6) будут отрицательными, и дробь будет положительной. — Когда x ∈ (–6; –3), (x – 4) и (x + 3) положительные, а (x – 6) и (x + 6) отрицательные, и дробь будет отрицательной. — Когда x ∈ (–3; 4), (x – 4) и (x + 3) положительные, а (x – 6) и (x + 6) положительные, и дробь будет положительной. — Когда x ∈ (4; 6), (x – 4) и (x + 3) положительные, а (x – 6) и (x + 6) отрицательные, и дробь будет отрицательной. — Когда x > 6, все множители положительные, и дробь будет положительной.
Таким образом, решение: x ∈ (–6; –3] ∪ (4; 6).
Ответ: x ∈ (–6; –3] ∪ (4; 6).
4) 3x² + 2x – 1 / 4x² – x – 3 ≥ 0;
Рассмотрим числитель 3x² + 2x – 1. Мы решим уравнение 3x² + 2x – 1 = 0 с помощью дискриминанта:
D = 2² – 4 · 3 · (–1) = 4 + 12 = 16, тогда:
x₁ = (–2 – √16) / (2·3) = –6 / 6 = –1 и x₂ = (–2 + √16) / (2·3) = 2 / 6 = 1/3.
Таким образом, числитель разлагается как:
3(x + 1)(x – 1/3).
Теперь рассмотрим знаменатель 4x² – x – 3. Мы решим уравнение 4x² – x – 3 = 0 с помощью дискриминанта:
D = (–1)² – 4 · 4 · (–3) = 1 + 48 = 49, тогда:
x₁ = (1 – 7) / 8 = –6 / 8 = –3/4 и x₂ = (1 + 7) / 8 = 8 / 8 = 1.
Таким образом, знаменатель разлагается как:
4(x + 3/4)(x – 1).
Теперь рассмотрим неравенство:
3(x + 1)(x – 1/3) / 4(x + 3/4)(x – 1) ≥ 0.
Ответ: x ∈ [–∞; –1] ∪ [–3/4; 1/3] ∪ (1; +∞).
Алгебра
