Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) (2x+1)(x-3)(x^2+4) < 0; 3) (3x^2-5x-2)(2x^2+x+1) < 0; 2) (2-x)(3x+5)(x^2-x+1) > 0; 4) (4-x)(3x+1)(x^4+x^2+1) < 0.
Решить неравенство:
1) (2x + 1)(x – 3)(x² + 4) < 0; Третье выражение: x² + 4 > 0;
x ∈ R;
Неравенство:
2(x + 0,5)(x – 3) < 0;
Ответ: x ∈ (–0,5; 3).
2) (2 – x)(3x + 5)(x² – x + 1) > 0;
Третье выражение:
x² – x + 1 > 0;
D = 1² – 4 · 1 · 1 = 1 – 4 = –3;
D < 0 и а > 0, значит x ∈ R;
Неравенство:
–(x + 2) / 3(x + 5/3) > 0;
(x + 1/2)² / (x + 2) < 0;
Ответ: x ∈ (–1; 2).
3) (3x² – 5x – 2)(2x² + x + 1) < 0; Первое выражение: 3x² – 5x – 2 = 0; D = 5² – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49, тогда: x₁ = (–5 – √49) / (2 · 3) = –12 / 6 = –2; x₂ = (–5 + √49) / (2 · 3) = 4 / 6 = 2/3. Второе выражение: x² + x + 1 > 0;
D = 1² – 4 · 1 · 1 = 1 – 4 = –3;
D < 0, значит x ∈ R;
Неравенство:
(x + 1/3)(x – 2) < 0;
Ответ: x ∈ (–1/3; 2).
4) (4 – x)(3x + 1)(x⁴ + x² + 1) < 0; Третье выражение: x⁴ + x² + 1 > 0;
(x²)² + x² + 1 > 0;
D = 1² – 4 · 1 · 1 = –3;
D < 0 и а > 0, значит x ∈ R;
Неравенство:
–(x⁴) / 3(x + 1/3) < 0; (x + 1/3)(x – 1/3) > 0;
Ответ: x ∈ (–∞; –1/3) ∪ (4; +∞).
Решить неравенство:
1) (2x + 1)(x – 3)(x² + 4) < 0;
Рассмотрим неравенство:
(2x + 1)(x – 3)(x² + 4) < 0.
Третье выражение x² + 4 всегда больше нуля, так как x² + 4 ≥ 4 для всех x ∈ R.
Неравенство сводится к:
(2x + 1)(x – 3) < 0.
Теперь решим это неравенство:
— Когда x < –1/2, оба множителя (2x + 1) и (x – 3) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (–1/2; 3), числитель (2x + 1) будет положительным, а знаменатель (x – 3) отрицательным, и произведение будет отрицательным, что соответствует решению неравенства. — Когда x > 3, оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: x ∈ (–1/2; 3).
Ответ: x ∈ (–0,5; 3).
2) (2 – x)(3x + 5)(x² – x + 1) > 0;
Рассмотрим неравенство:
(2 – x)(3x + 5)(x² – x + 1) > 0.
Третье выражение x² – x + 1 всегда больше нуля, так как дискриминант для x² – x + 1 равен:
D = 1² – 4 · 1 · 1 = 1 – 4 = –3, что подтверждает, что выражение x² – x + 1 всегда положительно.
Неравенство сводится к:
(2 – x)(3x + 5) > 0.
Теперь рассмотрим знаки на интервалах:
— Когда x < –5/3, оба множителя (2 – x) и (3x + 5) будут положительными, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (–5/3; 2), (2 – x) положительный, а (3x + 5) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда x > 2, (2 – x) отрицательный, а (3x + 5) положительный, и произведение будет отрицательным.
Таким образом, решение: x ∈ (–1; 2).
Ответ: x ∈ (–1; 2).
3) x² – x – 12 / x² – 36 ≤ 0;
Рассмотрим неравенство:
(x² – x – 12) / (x² – 36) ≤ 0.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
x² – x – 12 = (x – 4)(x + 3),
x² – 36 = (x – 6)(x + 6).
Неравенство примет вид:
(x – 4)(x + 3) / (x – 6)(x + 6) ≤ 0.
Теперь определим, когда это выражение будет отрицательным или равным нулю:
— Когда x ∈ (–∞; –6), все множители будут отрицательными, и дробь будет положительной.
— Когда x ∈ (–6; –3), (x + 3) положительный, а (x – 4) и (x – 6) отрицательные, и дробь будет положительной.
— Когда x ∈ (–3; 4), числитель и знаменатель будут иметь одинаковые знаки, и дробь будет положительной.
— Когда x ∈ (4; 6), числитель и знаменатель будут иметь противоположные знаки, и дробь будет отрицательной, что соответствует решению неравенства.
— Когда x > 6, дробь будет положительной.
Таким образом, решение: x ∈ (–1/3; 2)
Ответ: x ∈ (–1/3; 2)
4) 3x² + 2x – 1 / 4x² – x – 3 ≥ 0;
Рассмотрим неравенство:
(3x² + 2x – 1) / (4x² – x – 3) ≥ 0.
Разложим числитель 3x² + 2x – 1:
3x² + 2x – 1 = (3x – 1)(x + 1).
Теперь разложим знаменатель 4x² – x – 3:
4x² – x – 3 = (4x + 3)(x – 1).
Неравенство примет вид:
(3x – 1)(x + 1) / (4x + 3)(x – 1) ≥ 0.
Теперь определим знаки на интервалах:
— Когда x < –1, все множители будут отрицательными, и дробь будет положительной.
— Когда x ∈ (–1; 1/3), (x + 1) и (x – 1) положительные, а (3x – 1) и (4x + 3) отрицательные, и дробь будет отрицательной.
— Когда x ∈ (1/3; 1), (x + 1) и (x – 1) положительные, а (3x – 1) и (4x + 3) отрицательные, и дробь будет положительной.
Таким образом, решение: x ∈ (–∞; –1/3) ∪ (4; +∞).
Ответ: x ∈ (–∞; –1/3) ∪ (4; +∞).
Алгебра
