ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((2x + 1)(x — 3)(x^2 + 4) < 0\);

2) \((2 — x)(3x + 5)(x^2 — x + 1) > 0\);

3) \((3x^2 — 5x — 2)(2x^2 + x + 1) < 0\);

4) \((4 — x)(3x + 1)(x^4 + x^2 + 1) < 0\).

Решить неравенство:

1) \( (2x + 1)(x — 3)(x^2 + 4) < 0 \); Третье выражение: \( x^2 + 4 > 0 \);
\( x \in \mathbb{R} \);
Неравенство:
\( 2(x + 0{,}5)(x — 3) < 0 \);
Ответ: \( x \in (-0{,}5; 3) \).

2) \( (2 — x)(3x + 5)(x^2 — x + 1) > 0 \);
Третье выражение:
\( x^2 — x + 1 > 0 \);
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 \);
\( D < 0 \) и \( a > 0 \), значит \( x \in \mathbb{R} \);
Неравенство:
\( -\frac{(x + 2)}{3}\left(x + \frac{5}{3}\right) > 0 \);
\( \frac{(x + \frac{1}{2})^2}{(x + 2)} < 0 \);
Ответ: \( x \in (-1; 2) \).

3) \( (3x^2 — 5x — 2)(2x^2 + x + 1) < 0 \); Первое выражение: \( 3x^2 — 5x — 2 = 0 \); \( D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \), тогда: \( x_1 = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 \); \( x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
Второе выражение: \( x^2 + x + 1 > 0 \);
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 \);
\( D < 0 \), значит \( x \in \mathbb{R} \);
Неравенство:
\( \left(x + \frac{1}{3}\right)(x — 2) < 0 \);
Ответ: \( x \in \left(-\frac{1}{3}; 2\right) \).

4) \( (4 — x)(3x + 1)(x^4 + x^2 + 1) < 0 \); Третье выражение: \( x^4 + x^2 + 1 > 0 \);
\( (x^2)^2 + x^2 + 1 > 0 \);
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 \);
\( D < 0 \) и \( a > 0 \), значит \( x \in \mathbb{R} \);
Неравенство:
\( -\frac{x^4}{3}\left(x + \frac{1}{3}\right) < 0 \); \( \left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x — \frac{1}{3}\right) > 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (4; +\infty) \).

Решить неравенство:

1) \( (2x + 1)(x — 3)(x^2 + 4) < 0 \);
Рассмотрим неравенство:
\( (2x + 1)(x — 3)(x^2 + 4) < 0 \).
Третье выражение \( x^2 + 4 \) всегда больше нуля, так как \( x^2 + 4 \ge 4 \) для всех \( x \in R \).
Неравенство сводится к:
\( (2x + 1)(x — 3) < 0 \).
Теперь решим это неравенство:
— Когда \( x < -\frac{1}{2} \), оба множители \( (2x + 1) \) и \( (x — 3) \) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in \left(-\frac{1}{2}; 3\right) \), числитель \( (2x + 1) \) будет положительным, а знаменатель \( (x — 3) \) отрицательным, и произведение будет отрицательным, что соответствует решению неравенства. — Когда \( x > 3 \), оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in \left(-\frac{1}{2}; 3\right) \).
Ответ: \( x \in (-0,5; 3) \).

2) \( (2 — x)(3x + 5)(x^2 — x + 1) > 0 \);
Рассмотрим неравенство:
\( (2 — x)(3x + 5)(x^2 — x + 1) > 0 \).
Третье выражение \( x^2 — x + 1 \) всегда больше нуля, так как дискриминант для \( x^2 — x + 1 \) равен:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 \), что подтверждает, что выражение \( x^2 — x + 1 \) всегда положительно.
Неравенство сводится к:
\( (2 — x)(3x + 5) > 0 \).
Теперь рассмотрим знаки на интервалах:
— Когда \( x < -\frac{5}{3} \), оба множителя \( (2 — x) \) и \( (3x + 5) \) будут положительными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in \left(-\frac{5}{3}; 2\right) \), \( (2 — x) \) положительный, а \( (3x + 5) \) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 2 \), \( (2 — x) \) отрицательный, а \( (3x + 5) \) положительный, и произведение будет отрицательным.
Таким образом, решение: \( x \in (-1; 2) \).
Ответ: \( x \in (-1; 2) \).

3) \( x^2 — x — 12 / x^2 — 36 \le 0 \);
Рассмотрим неравенство:
\( \frac{x^2 — x — 12}{x^2 — 36} \le 0 \).
Разложим числитель и знаменатель на множители:
\( x^2 — x — 12 = (x — 4)(x + 3) \),
\( x^2 — 36 = (x — 6)(x + 6) \).
Неравенство примет вид:
\( \frac{(x — 4)(x + 3)}{(x — 6)(x + 6)} \le 0 \).
Теперь определим, когда это выражение будет отрицательным или равным нулю:
— Когда \( x \in (-\infty; -6) \), все множители будут отрицательными, и дробь будет положительной.
— Когда \( x \in (-6; -3) \), \( (x + 3) \) положительный, а \( (x — 4) \) и \( (x — 6) \) отрицательные, и дробь будет положительной.
— Когда \( x \in (-3; 4) \), числитель и знаменатель будут иметь одинаковые знаки, и дробь будет положительной.
— Когда \( x \in (4; 6) \), числитель и знаменатель будут иметь противоположные знаки, и дробь будет отрицательной, что соответствует решению неравенства.
— Когда \( x > 6 \), дробь будет положительной.
Таким образом, решение: \( x \in \left(-\frac{1}{3}; 2\right) \)
Ответ: \( x \in \left(-\frac{1}{3}; 2\right) \)

4) \( \frac{3x^2 + 2x — 1}{4x^2 — x — 3} \ge 0 \);
Рассмотрим неравенство:
\( \frac{3x^2 + 2x — 1}{4x^2 — x — 3} \ge 0 \).
Разложим числитель \( 3x^2 + 2x — 1 \):
\( 3x^2 + 2x — 1 = (3x — 1)(x + 1) \).
Теперь разложим знаменатель \( 4x^2 — x — 3 \):
\( 4x^2 — x — 3 = (4x + 3)(x — 1) \).
Неравенство примет вид:
\( \frac{(3x — 1)(x + 1)}{(4x + 3)(x — 1)} \ge 0 \).
Теперь определим знаки на интервалах:
— Когда \( x < -1 \), все множители будут отрицательными, и дробь будет положительной.
— Когда \( x \in \left(-1; \frac{1}{3}\right) \), \( (x + 1) \) и \( (x — 1) \) положительные, а \( (3x — 1) \) и \( (4x + 3) \) отрицательные, и дробь будет отрицательной.
— Когда \( x \in \left(\frac{1}{3}; 1\right) \), \( (x + 1) \) и \( (x — 1) \) положительные, а \( (3x — 1) \) и \( (4x + 3) \) отрицательные, и дробь будет положительной.
Таким образом, решение: \( x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (4; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (4; +\infty) \).