ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x^4 + 1)(5 — 6x)(x — 2) < 0\);

2) \((x + 3)(x + 6)(x + 5)(x^2 — 4x + 5) ≥ 0\).

Решить неравенство:

1) \( (x^4 + 1)(5 — 6x)(x — 2) < 0 \); Первое выражение: \( x^4 + 1 > 0 \);
\( x^4 \ge -1 \);
\( x \in \mathbb{R} \);
Неравенство:
\( -6 \,(x — \frac{5}{6})(x — 2) < 0 \); \( (x — \frac{5}{6})(x — 2) > 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; \frac{5}{6}) \cup (2; +\infty) \).

2) \( (x + 3)(x + 6)(x + 5)(x^2 — 4x + 5) \ge 0 \);
Четвёртое выражение:
\( x^2 — 4x + 5 > 0 \);
\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4 \);
\( D < 0 \) и \( a > 0 \), значит \( x \in \mathbb{R} \);
Неравенство:
\( (x + 6)(x + 5) \ge 0 \);
Ответ: \( x \in [-6; -5] \cup [-3; +\infty) \).

Решить неравенство:

1) \( (x^4 + 1)(5 — 6x)(x — 2) < 0 \);
Рассмотрим неравенство:
\( (x^4 + 1)(5 — 6x)(x — 2) < 0 \).
Первое выражение \( x^4 + 1 \) всегда больше нуля, так как \( x^4 + 1 \ge 1 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \). Поэтому мы можем избавиться от первого множителя, так как он всегда положителен:
\( (5 — 6x)(x — 2) < 0 \).
Теперь решим это неравенство:
— Когда \( x < 2 \), \( (x — 2) \) будет отрицательным, а \( (5 — 6x) \) также будет отрицательным, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in \left(\frac{5}{6}; 2\right) \), \( (x — 2) \) положительный, а \( (5 — 6x) \) отрицательный, и произведение будет отрицательным, что соответствует решению неравенства. — Когда \( x > \frac{5}{6} \), \( (x — 2) \) и \( (5 — 6x) \) будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in (-\infty; \frac{5}{6}) \cup (2; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; \frac{5}{6}) \cup (2; +\infty) \).

2) \( (x + 3)(x + 6)(x + 5)(x^2 — 4x + 5) \ge 0 \);
Рассмотрим неравенство:
\( (x + 3)(x + 6)(x + 5)(x^2 — 4x + 5) \ge 0 \).
Четвёртое выражение \( x^2 — 4x + 5 \) всегда больше нуля. Для этого можно найти дискриминант:
\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4 \), что означает, что корней у этого уравнения нет и \( x^2 — 4x + 5 \) всегда положительно.
Таким образом, неравенство сводится к:
\( (x + 3)(x + 6)(x + 5) \ge 0 \).
Теперь решим это неравенство:
— Когда \( x < -6 \), все множители \( (x + 3) \), \( (x + 6) \) и \( (x + 5) \) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-6; -5) \), \( (x + 6) \) положительный, а \( (x + 3) \) и \( (x + 5) \) отрицательные, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x \in (-5; -3) \), \( (x + 5) \) и \( (x + 3) \) положительные, а \( (x + 6) \) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > -3 \), все множители будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in [-6; -5] \cup [-3; +\infty) \).
Ответ: \( x \in [-6; -5] \cup [-3; +\infty) \).