Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \((x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) < 0\);
2) \((x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) \leq 0\);
3) \((x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) > 0\);
4) \((x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) \geq 0\);
5) \((x — 3)^2(x^2 + x — 2) < 0\);
6) \((x — 3)^2(x^2 + x — 2) \leq 0\);
7) \((x — 3)^2(x^2 + x — 2) > 0\);
8) \((x — 3)^2(x^2 + x — 2) \geq 0\).
1) \( (x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) < 0 \); Первое выражение: \( (x — 4)^2 \ge 0 \); \( x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \);
Неравенство:
\( x^2 — 7x + 10 < 0 \);
\( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \);
\( (x — 2)(x — 5) < 0 \);
\( 2 < x < 5 \); Ответ: \( x \in (2; 4) \cup (4; 5) \).
2) \( (x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) \le 0 \); Первое выражение: \( (x — 4)^2 \ge 0 \); \( x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \);
Неравенство:
\( x^2 — 7x + 10 \le 0 \);
\( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \);
\( (x — 2)(x — 5) \le 0 \);
\( 2 \le x \le 5 \);
Ответ: \( x \in [2; 5] \).
3) \( (x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) > 0 \);
Первое выражение:
\( (x — 4)^2 \ge 0 \);
\( x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \);
Неравенство:
\( x^2 — 7x + 10 > 0 \);
\( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \);
\( (x — 2)(x — 5) > 0 \);
\( x < 2 \) или \( x > 5 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty) \).
4) \( (x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) \ge 0 \);
Первое выражение:
\( (x — 4)^2 \ge 0 \);
\( x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \);
Неравенство:
\( x^2 — 7x + 10 \ge 0 \);
\( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \);
\( (x — 2)(x — 5) \ge 0 \);
\( x \le 2 \) или \( x \ge 5 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty) \).
5) \( (x — 3)^2(x^2 + x — 2) < 0 \); Первое выражение: \( (x — 3)^2 \ge 0 \); \( x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \);
Неравенство:
\( x^2 + x — 2 < 0 \);
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1 \);
\( (x + 2)(x — 1) < 0 \);
\( -2 < x < 1 \); Ответ: \( x \in (-2; 1) \).
6) \( (x — 3)^2(x^2 + x — 2) \le 0 \); Первое выражение: \( (x — 3)^2 \ge 0 \); \( x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \);
Неравенство:
\( x^2 + x — 2 \le 0 \);
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1 \);
\( (x + 2)(x — 1) \le 0 \);
\( -2 \le x \le 1 \);
Ответ: \( x \in [-2; 1] \).
7) \( (x — 3)^2(x^2 + x — 2) > 0 \);
Первое выражение:
\( (x — 3)^2 \ge 0 \);
\( x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \);
Неравенство:
\( x^2 + x — 2 > 0 \);
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1 \);
\( (x + 2)(x — 1) > 0 \);
\( x < -2 \) или \( x > 1 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \).
8) \( (x — 3)^2(x^2 + x — 2) \ge 0 \);
Первое выражение:
\( (x — 3)^2 \ge 0 \);
\( x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \);
Неравенство:
\( x^2 + x — 2 \ge 0 \);
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1 \);
\( (x + 2)(x — 1) \ge 0 \);
\( x \le -2 \) или \( x \ge 1 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty) \).
Решить неравенство:
1) \( (x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) < 0 \); Первое выражение: \( (x — 4)^2 \ge 0 \), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Таким образом, \( x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \).
Неравенство:
\( x^2 — 7x + 10 < 0 \);
Решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения \( x^2 — 7x + 10 = 0 \). Для этого используем дискриминант:
\( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \).
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \).
Теперь решаем неравенство:
\( (x — 2)(x — 5) < 0 \). Решение: Произведение будет отрицательным, если один из множителей отрицателен, а другой положителен, то есть \( x \in (2; 5) \). Ответ: \( x \in (2; 4) \cup (4; 5) \).
2) \( (x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) \le 0 \); Первое выражение: \( (x — 4)^2 \ge 0 \), как и в предыдущем случае, \( x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \).
Неравенство:
\( x^2 — 7x + 10 \le 0 \);
Используем те же самые шаги, что и в предыдущем пункте, чтобы решить это неравенство.
Корни уравнения:
\( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 5 \).
Неравенство:
\( (x — 2)(x — 5) \le 0 \).
Решение:
Произведение будет отрицательным или равным нулю, когда \( x \in [2; 5] \).
Ответ: \( x \in [2; 5] \).
3) \( (x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) > 0 \);
Первое выражение:
\( (x — 4)^2 \ge 0 \), так как квадрат любого числа всегда положителен.
Неравенство:
\( x^2 — 7x + 10 > 0 \);
Как и в предыдущих пунктах, мы знаем, что корни уравнения \( x^2 — 7x + 10 = 0 \) равны \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 5 \).
Неравенство:
\( (x — 2)(x — 5) > 0 \).
Решение:
Произведение будет положительным, если оба множителя положительные или оба отрицательные, то есть \( x \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty) \).
4) \( (x — 4)^2(x^2 — 7x + 10) \ge 0 \);
Первое выражение:
\( (x — 4)^2 \ge 0 \), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.
Неравенство:
\( x^2 — 7x + 10 \ge 0 \);
Как и в предыдущих пунктах, корни уравнения равны \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 5 \).
Неравенство:
\( (x — 2)(x — 5) \ge 0 \).
Решение:
Произведение будет положительным, если оба множителя положительные или оба отрицательные, то есть \( x \le 2 \) или \( x \ge 5 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty) \).
5) \( (x — 3)^2(x^2 + x — 2) < 0 \);
Первое выражение:
\( (x — 3)^2 \ge 0 \), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.
Неравенство:
\( x^2 + x — 2 < 0 \);
Решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения \( x^2 + x — 2 = 0 \). Используем дискриминант:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1 \).
Теперь решаем неравенство:
\( (x + 2)(x — 1) < 0 \). Решение: Произведение будет отрицательным, если один из множителей отрицателен, а другой положителен, то есть \( x \in (-2; 1) \). Ответ: \( x \in (-2; 1) \).
6) \( (x — 3)^2(x^2 + x — 2) \le 0 \); Первое выражение: \( (x — 3)^2 \ge 0 \), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Неравенство: \( x^2 + x — 2 \le 0 \); Как и в предыдущем пункте, мы решаем квадратное неравенство: \( (x + 2)(x — 1) \le 0 \). Решение: Произведение будет отрицательным или равным нулю, когда \( x \in [-2; 1] \). Ответ: \( x \in [-2; 1] \).
7) \( (x — 3)^2(x^2 + x — 2) > 0 \);
Первое выражение:
\( (x — 3)^2 \ge 0 \), так как квадрат любого числа всегда положителен.
Неравенство:
\( x^2 + x — 2 > 0 \);
Как и в предыдущих пунктах, мы решаем квадратное неравенство:
\( (x + 2)(x — 1) > 0 \).
Решение:
Произведение будет положительным, если оба множителя положительные или оба отрицательные, то есть \( x < -2 \) или \( x > 1 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \).
8) \( (x — 3)^2(x^2 + x — 2) \ge 0 \);
Первое выражение:
\( (x — 3)^2 \ge 0 \), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.
Неравенство:
\( x^2 + x — 2 \ge 0 \);
Как и в предыдущем пункте, мы решаем квадратное неравенство:
\( (x + 2)(x — 1) \ge 0 \).
Решение:
Произведение будет положительным или равным нулю, когда \( x \le -2 \) или \( x \ge 1 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty) \).
