ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(y = x^3 + 3\);

2) \(y = (x — 3)^3\);

3) \(y = x^4 + 2\);

4) \(y = (x + 1)^4\);

5) \(y = \frac{1}{4}x^3\);

6) \(y = -x^4\).

1) \(y = x^{3} + 3\)
Сначала рассмотрим стандартный кубический график \(y = x^{3}\). Его основная особенность — точка перегиба в начале координат, график симметричен относительно неё, и одна ветвь уходит в третью четверть, а другая — в первую. При добавлении числа «+3» выполняется вертикальный сдвиг графика вверх: каждая точка \((x,y)\) переходит в \((x,y+3)\). Это значит, что график целиком поднялся на 3 единицы выше, сохраняя форму. Точка перегиба, которая была в \((0,0)\), теперь находится в точке \((0,3)\). Ветви направлены так же, но все значения функции увеличились на 3.

2) \(y = (x — 3)^{3}\)
Базовый график — это \(y = x^{3}\). Замена \(x\) на \((x — 3)\) приводит к сдвигу вправо на 3 единицы. Каждая точка \((x,y)\) исходного графика перемещается в точку \((x+3,y)\). В итоге форма кривой не меняется, но точка перегиба теперь находится не в начале координат, а в точке \((3,0)\). Таким образом, график сместился вправо вдоль оси \(Ox\), сохраняя направление ветвей.

3) \(y = x^{4} + 2\)
Стандартная функция \(y = x^{4}\) имеет U-образную форму и симметрична относительно оси ординат. Её вершина расположена в начале координат \((0,0)\). Прибавление «+2» приводит к вертикальному сдвигу вверх: каждая точка \((x,y)\) переходит в \((x,y+2)\). Таким образом, вершина графика переместилась из \((0,0)\) в \((0,2)\). Ветви всё так же открыты вверх, но график целиком поднялся выше относительно оси абсцисс.

4) \(y = (x + 1)^{4}\)
Базовый график \(y = x^{4}\) симметричен относительно оси ординат и имеет вершину в начале координат. При замене \(x\) на \((x + 1)\) выполняется сдвиг влево на 1 единицу: каждая точка \((x,y)\) переходит в \((x-1,y)\). Следовательно, вершина перемещается из точки \((0,0)\) в \((-1,0)\). График сохраняет U-образную форму и направленность ветвей вверх, но ось симметрии теперь совпадает с прямой \(x = -1\).

5) \(y = \frac{1}{4}x^{3}\)
Основой служит кубическая функция \(y = x^{3}\). Множитель \(\frac{1}{4}\) означает вертикальное сжатие графика: каждое значение функции уменьшается в 4 раза. Точка перегиба остаётся в начале координат, а форма графика остаётся кубической. Однако рост значений теперь более «пологий»: при тех же значениях аргумента \(x\), значения \(y\) будут в 4 раза меньше по модулю. Таким образом, график стал менее крутым и ближе прижат к оси абсцисс.

6) \(y = -x^{4}\)
Начинаем с графика \(y = x^{4}\), у которого вершина в начале координат, и ветви направлены вверх. Минус перед выражением означает отражение графика относительно оси абсцисс. Это значит, что вершина остаётся в \((0,0)\), но теперь ветви направлены вниз. Форма сохраняется: это та же четвёртая степень, только «перевернутая», то есть U-образная кривая, открытая вниз.

1) \(y = x^{3} + 3\)
Рассмотрим базовую кубическую функцию \(y = x^{3}\). Её характерные особенности: точка перегиба находится в начале координат \((0,0)\), график симметричен относительно этой точки, а также проходит через точки \((1,1)\), \((-1,-1)\), \((2,8)\), \((-2,-8)\). Теперь к функции добавлено число «+3». Это означает, что выполняется вертикальный сдвиг вверх на 3 единицы. Таким образом, каждая точка исходного графика \((x,y)\) преобразуется в точку \((x,y+3)\). Точка перегиба теперь расположена в \((0,3)\), точка \((1,1)\) стала \((1,4)\), а точка \((-1,-1)\) — \((-1,2)\). График сохранил свою кубическую форму и направление ветвей (влево вниз и вправо вверх), но вся кривая приподнята на 3 единицы выше. Это изменение никак не затронуло ширину или симметрию графика, а только сместило его вверх.

2) \(y = (x — 3)^{3}\)
В основе снова лежит функция \(y = x^{3}\). Теперь внутри скобки под кубом мы видим сдвиг: замена \(x\) на \(x — 3\). Это приводит к горизонтальному сдвигу графика вправо на 3 единицы. Каждая точка \((x,y)\) исходного графика перемещается в точку \((x+3,y)\). Например, точка перегиба \((0,0)\) переносится в \((3,0)\). Точка \((1,1)\) переместилась в \((4,1)\), а точка \((-1,-1)\) — в \((2,-1)\). При этом форма кривой полностью сохраняется: это по-прежнему кубическая функция с характерной «S-образной» кривой, одна ветвь уходит влево вниз, а другая вправо вверх. Важный момент: коэффициент при \(x^{3}\) равен единице, поэтому график не растянут и не сжат, а изменился только его сдвиг по оси \(Ox\).

3) \(y = x^{4} + 2\)
Возьмём функцию \(y = x^{4}\). Она имеет U-образный график, симметричный относительно оси ординат, вершина находится в начале координат \((0,0)\). Прибавление числа «+2» означает вертикальный сдвиг вверх на 2 единицы. Все точки исходного графика перемещаются вверх: вершина теперь в точке \((0,2)\), точка \((1,1)\) переместилась в \((1,3)\), точка \((-1,1)\) в \((-1,3)\). Форма кривой осталась прежней: симметричная, U-образная, с ветвями, устремлёнными вверх. При этом ось симметрии осталась прежней — прямая \(x=0\). Важно, что ни растяжение, ни сжатие не произошло, изменилось только вертикальное положение графика относительно оси абсцисс.

4) \(y = (x + 1)^{4}\)
Здесь снова используется функция четвёртой степени. Замена аргумента \(x\) на \(x+1\) означает горизонтальный сдвиг влево на 1 единицу. То есть каждая точка исходного графика \((x,y)\) перемещается в точку \((x-1,y)\). Вершина графика, которая была в начале координат \((0,0)\), теперь расположена в точке \((-1,0)\). Точки \((1,1)\) и \((-1,1)\) переместились в \((0,1)\) и \((-2,1)\) соответственно. Кривая по-прежнему симметрична, но ось симметрии теперь совпадает с прямой \(x=-1\). Форма осталась U-образной, с ветвями, направленными вверх, но весь график сместился влево.

5) \(y = \frac{1}{4}x^{3}\)
Исходная функция \(y = x^{3}\) имеет стандартный S-образный график. Коэффициент \(\frac{1}{4}\) перед степенью влияет на «крутизну» кривой. Это вертикальное сжатие в 4 раза. Каждое значение функции уменьшается в 4 раза по сравнению с исходным. Например, точка \((1,1)\) стала \((1,0.25)\), точка \((-1,-1)\) превратилась в \((-1,-0.25)\), а точка \((2,8)\) — в \((2,2)\). Форма графика сохраняется: одна ветвь уходит в третью четверть, другая — в первую. Однако теперь график стал более «пологим», так как значения функции при одинаковых аргументах уменьшились. Точка перегиба, как и раньше, находится в начале координат, симметрия также сохраняется.

6) \(y = -x^{4}\)
Начальный график \(y = x^{4}\) имеет форму буквы «U» с вершиной в начале координат \((0,0)\), направлен вверх. Минус перед выражением означает отражение относительно оси абсцисс. То есть каждая точка \((x,y)\) исходного графика переносится в точку \((x,-y)\). В результате вершина остаётся в начале координат, но ветви теперь направлены вниз. График принимает форму «перевернутой U», симметрия относительно оси ординат сохраняется. Например, точка \((1,1)\) стала \((1,-1)\), а \((-1,1)\) — \((-1,-1)\). Важно отметить, что область определения функции не изменилась (все вещественные числа), но область значений стала не положительной, а неотрицательной в обратную сторону: \(y \leq 0\).