ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^8\) на промежутке:

1) \([0; 2]\);

2) \([-2; -1]\);

3) \([-1; 1]\);

4) \((-\infty; -2]\).

Функция: \(f(x)=x^{8}\). Чётная, \(f(x)\ge 0\); убывает на \((-\infty,0]\) и возрастает на \([0,+\infty)\). Минимум достигается при наименьшем \(|x|\) на промежутке.

1) Отрезок \([0;2]\)
\(\displaystyle \max_{[0,2]} f(x)=f(2)=2^{8}=256\).
\(\displaystyle \min_{[0,2]} f(x)=f(0)=0^{8}=0\).

2) Отрезок \([-2;-1]\)
\(\displaystyle \max_{[-2,-1]} f(x)=f(-2)=(-2)^{8}=256\).
\(\displaystyle \min_{[-2,-1]} f(x)=f(-1)=(-1)^{8}=1\).

3) Отрезок \([-1;1]\)
\(\displaystyle \max_{[-1,1]} f(x)=f(\pm 1)=(\pm 1)^{8}=1\).
\(\displaystyle \min_{[-1,1]} f(x)=f(0)=0^{8}=0\).

4) Промежуток \((-\infty;-2]\)
\(\displaystyle \min_{(-\infty,-2]} f(x)=f(-2)=(-2)^{8}=256\).
\(\displaystyle \max_{(-\infty,-2]}\) — не существует (при \(x\to -\infty\), \(x^{8}\to+\infty\)).

Функция: \(f(x) = x^{8}\). Это чётная функция: график симметричен относительно оси \(Oy\).
Минимум достигается при наименьшем по модулю \(x\), то есть в \(x=0\), где \(f(0)=0\).
На \([0,+\infty)\) функция монотонно возрастает, а на \((-\infty,0]\) при приближении к нулю значения убывают, при удалении от нуля — возрастают.

1) Промежуток \([0;2]\)
\(f(0)=0^{8}=0,\quad f(2)=2^{8}=256.\)
Так как \(f\) возрастает на \([0,2]\), то
\[
\min_{[0,2]} f(x)=0 \text{ (при }x=0),\qquad
\max_{[0,2]} f(x)=256 \text{ (при }x=2).
\]

2) Промежуток \([-2;-1]\)
\(f(-2)=(-2)^{8}=256,\quad f(-1)=(-1)^{8}=1.\)
На этом отрезке по мере приближения к нулю \(|x|\) уменьшается и \(f(x)\) убывает, значит
\[
\min_{[-2,-1]} f(x)=1 \text{ (при }x=-1),\qquad
\max_{[-2,-1]} f(x)=256 \text{ (при }x=-2).
\]

3) Промежуток \([-1;1]\)
\(f(-1)=1,\ f(0)=0,\ f(1)=1.\) Минимум в центре, максимум на концах:
\[
\min_{[-1,1]} f(x)=0 \text{ (при }x=0),\qquad
\max_{[-1,1]} f(x)=1 \text{ (при }x=\pm 1).
\]

4) Промежуток \((-\infty;-2]\)
При \(x\to -\infty\) \(\;x^{8}\to+\infty\) — сверху не ограничена, зато наименьшее значение на отрезке достигается в точке с минимальным \(|x|\), то есть при \(x=-2\):
\[\min_{(-\infty,-2]} f(x)=256 \text{ (при }x=-2),\qquad\]

\[\max_{(-\infty,-2]} f(x)\ \text{не существует (}\sup=+\infty\text{)}.\]