Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^8\) на промежутке:
1) \([0; 2]\);
2) \([-2; -1]\);
3) \([-1; 1]\);
4) \((-\infty; -2]\).
Функция: \(f(x)=x^{8}\). Чётная, \(f(x)\ge 0\); убывает на \((-\infty,0]\) и возрастает на \([0,+\infty)\). Минимум достигается при наименьшем \(|x|\) на промежутке.
1) Отрезок \([0;2]\)
\(\displaystyle \max_{[0,2]} f(x)=f(2)=2^{8}=256\).
\(\displaystyle \min_{[0,2]} f(x)=f(0)=0^{8}=0\).
2) Отрезок \([-2;-1]\)
\(\displaystyle \max_{[-2,-1]} f(x)=f(-2)=(-2)^{8}=256\).
\(\displaystyle \min_{[-2,-1]} f(x)=f(-1)=(-1)^{8}=1\).
3) Отрезок \([-1;1]\)
\(\displaystyle \max_{[-1,1]} f(x)=f(\pm 1)=(\pm 1)^{8}=1\).
\(\displaystyle \min_{[-1,1]} f(x)=f(0)=0^{8}=0\).
4) Промежуток \((-\infty;-2]\)
\(\displaystyle \min_{(-\infty,-2]} f(x)=f(-2)=(-2)^{8}=256\).
\(\displaystyle \max_{(-\infty,-2]}\) — не существует (при \(x\to -\infty\), \(x^{8}\to+\infty\)).
Функция: \(f(x) = x^{8}\). Это чётная функция: график симметричен относительно оси \(Oy\).
Минимум достигается при наименьшем по модулю \(x\), то есть в \(x=0\), где \(f(0)=0\).
На \([0,+\infty)\) функция монотонно возрастает, а на \((-\infty,0]\) при приближении к нулю значения убывают, при удалении от нуля — возрастают.
1) Промежуток \([0;2]\)
\(f(0)=0^{8}=0,\quad f(2)=2^{8}=256.\)
Так как \(f\) возрастает на \([0,2]\), то
\[
\min_{[0,2]} f(x)=0 \text{ (при }x=0),\qquad
\max_{[0,2]} f(x)=256 \text{ (при }x=2).
\]
2) Промежуток \([-2;-1]\)
\(f(-2)=(-2)^{8}=256,\quad f(-1)=(-1)^{8}=1.\)
На этом отрезке по мере приближения к нулю \(|x|\) уменьшается и \(f(x)\) убывает, значит
\[
\min_{[-2,-1]} f(x)=1 \text{ (при }x=-1),\qquad
\max_{[-2,-1]} f(x)=256 \text{ (при }x=-2).
\]
3) Промежуток \([-1;1]\)
\(f(-1)=1,\ f(0)=0,\ f(1)=1.\) Минимум в центре, максимум на концах:
\[
\min_{[-1,1]} f(x)=0 \text{ (при }x=0),\qquad
\max_{[-1,1]} f(x)=1 \text{ (при }x=\pm 1).
\]
4) Промежуток \((-\infty;-2]\)
При \(x\to -\infty\) \(\;x^{8}\to+\infty\) — сверху не ограничена, зато наименьшее значение на отрезке достигается в точке с минимальным \(|x|\), то есть при \(x=-2\):
\[\min_{(-\infty,-2]} f(x)=256 \text{ (при }x=-2),\qquad\]
\[\max_{(-\infty,-2]} f(x)\ \text{не существует (}\sup=+\infty\text{)}.\]
