ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^5\) на промежутке:

1) \([-3; 3]\);

2) \([-2; 0]\);

3) \([1; +\infty)\).

Функция: \(f(x)=x^{5}\). Это функция с нечётным показателем степени.
Она возрастает на всей числовой прямой, то есть при увеличении аргумента значения функции также растут.
В точке \(x=0\) функция принимает значение \(f(0)=0\), что является своего рода «центром симметрии» графика.

1) Промежуток \([-3;3]\)
На концах отрезка вычислим значения:
\(f(-3)=(-3)^{5}=-243,\quad f(3)=3^{5}=243.\)
Так как функция строго возрастает, то минимум достигается в левой границе, максимум — в правой:
\[
\min_{[-3,3]} f(x)=-243,\qquad \max_{[-3,3]} f(x)=243.
\]

2) Промежуток \([-2;0]\)
Вычислим значения на концах:
\(f(-2)=(-2)^{5}=-32,\quad f(0)=0^{5}=0.\)
Функция возрастает, поэтому наименьшее значение в точке \(-2\), а наибольшее — в точке \(0\):
\[
\min_{[-2,0]} f(x)=-32,\qquad \max_{[-2,0]} f(x)=0.
\]

3) Промежуток \([1;+ \infty)\)
Вычислим значение в начальной точке:
\(f(1)=1^{5}=1.\)
Так как функция возрастает без ограничений при \(x \to +\infty\), максимального значения нет.
Минимальное значение достигается в точке \(x=1\):
\[
\min_{[1,+\infty)} f(x)=1,\qquad \max_{[1,+\infty)} f(x)\ \text{не существует}.
\]

Исследуем функцию: \(f(x)=x^{5}\). Это многочлен нечётной степени. У функции есть важные особенности:

Во-первых, показатель степени равен \(5\), это нечётное число, поэтому график обладает центральной симметрией относительно начала координат \((0;0)\). Значит, если точка \((a;b)\) принадлежит графику, то и точка \((-a;-b)\) также лежит на графике.

Во-вторых, так как старший коэффициент положителен (перед \(x^{5}\) стоит \(+1\)), при \(x\to+\infty\) функция стремится к \(+\infty\), а при \(x\to-\infty\) функция уходит в \(-\infty\). Это означает, что у неё нет ограничений сверху и снизу на всей числовой прямой, но на конечных промежутках можно определить точные максимальные и минимальные значения.

В-третьих, производная функции:
\[
f'(x)=5x^{4}.
\]
Она всегда неотрицательна, так как \(x^{4}\ge 0\) при любом \(x\). Равенство нулю возможно только в точке \(x=0\). Следовательно, функция неубывающая на всей числовой прямой. Более того, так как при \(x\neq0\) производная строго положительна, функция строго возрастает. Точка \(x=0\) является точкой перегиба, а не экстремумом.

1) На промежутке \([\,-3;\,3]\):
Функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается на левой границе, а наибольшее — на правой:
\[
f(-3)=(-3)^{5}=-243,\qquad f(3)=3^{5}=243.
\]
Значения внутри отрезка лежат между \(-243\) и \(243\).
Вывод: \(\min=-243\) (при \(x=-3\)), \(\max=243\) (при \(x=3\)).

2) На промежутке \([\,-2;\,0]\):
На левой границе:
\[
f(-2)=(-2)^{5}=-32.
\]
На правой границе:
\[
f(0)=0^{5}=0.
\]
Так как функция возрастает, промежуточные значения будут находиться в диапазоне от \(-32\) до \(0\).
Вывод: \(\min=-32\) (при \(x=-2\)), \(\max=0\) (при \(x=0\)).

3) На промежутке \([\,1;\,+\infty)\):
На левой границе:
\[
f(1)=1^{5}=1.
\]
При \(x\to+\infty\):
\[
f(x)\to+\infty.
\]
То есть наименьшее значение равно \(1\), оно достигается при \(x=1\), а наибольшего значения нет, так как функция не ограничена сверху.
Вывод: \(\min=1\) (при \(x=1\)), \(\max\) не существует.

Обобщение: для функции \(f(x)=x^{n}\) с нечётным показателем степени \(n\):

— она всегда строго возрастает на всей числовой прямой;
— её график симметричен относительно начала координат;
— значение функции сохраняет знак аргумента: если \(x>0\), то \(f(x)>0\); если \(x<0\), то \(f(x)<0\); при \(x=0\) функция равна нулю;
— на ограниченных промежутках \([a;b]\) при \(a<b\) минимум всегда равен \(f(a)\), максимум всегда равен \(f(b)\);
— на промежутках вида \([c;+\infty)\) минимум существует и равен \(f(c)\), а максимума нет; на промежутках \((-\infty;d]\) наоборот: существует максимум \(f(d)\), а минимума нет.