Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^5 на промежутке:
1) [-3; 3];
2) [-2; 0];
3) [1; +∞).
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x⁵:
Данная функция:
- Имеет нечётный показатель степени;
- Имеет вершину в точке с абсциссой x₀ = 0;
- Возрастает на всей числовой прямой;
1) На промежутке [−3; 3]:
- Максимальное значение: f(3) = 3⁵ = 243
- Минимальное значение: f(−3) = (−3)⁵ = −243
Ответ: max[−3; 3] f(x) = 243, min[−3; 3] f(x) = −243.
2) На промежутке [−2; 0]:
- Максимальное значение: f(0) = 0⁵ = 0
- Минимальное значение: f(−2) = (−2)⁵ = −32
Ответ: max[−2; 0] f(x) = 0, min[−2; 0] f(x) = −32.
3) На промежутке [1; +∞):
- Максимального значения нет, так как функция возрастает без ограничений при x → +∞
- Минимальное значение: f(1) = 1⁵ = 1
Ответ: max[1; +∞) f(x) — не существует, min[1; +∞) f(x) = 1.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x⁵:
Данная функция обладает следующими свойствами:
- Степень функции нечётная, показатель степени равен 5.
- Вершина графика находится в точке с абсциссой x₀ = 0, но из-за нечётной степени вершина не является экстремумом.
- Функция возрастает на всей числовой прямой, так как производная положительна при x > 0 и отрицательна при x < 0.
- При x > 0 значения функции увеличиваются, а при x < 0 значения убывают.
1) На промежутке [−3; 3]:
- Функция монотонно возрастает, поэтому наибольшее значение достигается в правом конце отрезка, а наименьшее — в левом.
- Наибольшее значение: f(3) = 3⁵ = 243.
- Наименьшее значение: f(−3) = (−3)⁵ = −243.
- Промежуточные значения лежат между этими числами, так как функция не имеет локальных экстремумов на отрезке.
Ответ: наибольшее значение — 243, наименьшее — −243.
2) На промежутке [−2; 0]:
- Поскольку функция возрастает, минимальное значение — на левом конце, максимальное — на правом.
- Максимальное значение: f(0) = 0⁵ = 0.
- Минимальное значение: f(−2) = (−2)⁵ = −32.
- Для любого x ∈ (−2; 0) выполняется −32 < f(x) < 0.
Ответ: наибольшее значение — 0, наименьшее — −32.
3) На промежутке [1; +∞):
- Функция возрастает и при x → +∞ возрастает неограниченно, поэтому максимального значения нет.
- Наименьшее значение достигается при x = 1: f(1) = 1⁵ = 1.
- При любом x > 1 значение функции больше 1.
Ответ: максимального значения нет, минимальное значение — 1.
Подробное объяснение по каждому случаю:
- Если задан отрезок [a; b] и функция возрастающая, то наименьшее значение — в точке a, а наибольшее — в точке b.
- Если рассматривается неограниченный справа промежуток [c; +∞), то функция будет стремиться к +∞, максимального значения не существует, а минимальное — f(c).
- При любом нечётном показателе степени функция f(x) = xⁿ (где n — нечётное) сохраняет знак аргумента x и монотонно возрастает.
Алгебра
