ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Определите графически количество решений системы уравнений:

\[
\begin{cases}
y = x^6, \\
2x — y — 3 = 0.
\end{cases}
\]

Определите графически количество решений системы уравнений:

\(\left\{\begin{aligned} y&=x^6,\\ 2x-y-3&=0. \end{aligned}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} y&=x^6,\\ y&=2x-3. \end{aligned}\right\}\)

1) \(y=x^6\) — четная степенная функция:

\(x_0=0\) и \(y_0=0\);

2) \(y=2x-3\) — уравнение прямой:

3) Графики функций:

Определить графически количество решений системы уравнений:

1) Функция \(y = x^{6}\).
Это чётная степенная функция с показателем 6. Все степени чётного порядка обладают симметрией относительно оси \(Oy\). График проходит через начало координат, причём в точке \((0;0)\) достигается минимум функции. Для любых значений \(x \neq 0\) функция принимает положительные значения. При увеличении модуля \(x\) значения \(y\) растут очень быстро. Так, при \(x = 1\) получаем \(y = 1\), а при \(x = 2\) имеем уже \(y = 64\). Это наглядно показывает стремительный рост функции.

2) Функция \(y = 2x — 3\).
Это линейная функция. Угловой коэффициент равен \(2\), поэтому график — возрастающая прямая с достаточно крутым наклоном. Свободный член \(-3\) указывает, что прямая пересекает ось \(Oy\) в точке \((0; -3)\). Для примера: при \(x = 0\) имеем \(y = -3\), а при \(x = 3\) получаем \(y = 3\). То есть прямая постепенно поднимается из отрицательной области вверх и пересекает ось абсцисс между нулём и тройкой.

3) Сравнение графиков.
График функции \(y = x^{6}\) имеет вид «пологой U-образной кривой», которая проходит через точку \((0;0)\) и резко возрастает при увеличении модуля \(x\). График функции \(y = 2x — 3\) является прямой, которая идёт из нижней полуплоскости вверх. На приведённом рисунке хорошо видно, что кривая \(y = x^{6}\) всегда располагается выше прямой \(y = 2x — 3\), начиная уже с нуля.

4) Анализ пересечений.
Чтобы проверить пересечение, можно составить уравнение:
\[
x^{6} = 2x — 3.
\]
Функция \(x^{6}\) для любых \(x\) даёт результат не меньше нуля, в то время как функция \(2x-3\) при \(x=0\) равна \(-3\), а затем медленно возрастает. Проверим несколько точек:

\[f(0) = 0^{6} — (2\cdot 0 — 3) = 3 > 0, \quad f(1) = 1 — (2 — 3)=\]

\[= 2 > 0, \quad f(2) = 64 — (4 — 3) = 63 > 0.\]

Во всех случаях значение положительно, значит, кривая \(y=x^{6}\) выше прямой. Таким образом, точек пересечения нет.

Вывод:
Система не имеет решений.

Ответ: 0 решений.