ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

\[
1) f(x) =
\begin{cases}
x^4, & \text{если } x < 0, \\
\sqrt{x}, & \text{если } x \geq 0;
\end{cases}
\]

\[
2) f(x) =
\begin{cases}
x^5, & \text{если } x < -1, \\
-x — 2, & \text{если } x \geq -1.
\end{cases}
\]

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Построить график функции:

1) \( f(x)=
\begin{cases}
x^{4}, & x<0,\\
\sqrt{x}, & x\ge 0
\end{cases}\)

Первая часть: \(y=x^{4}\) — четная степенная функция. При отрицательных x значения всегда положительные. Функция симметрична относительно оси Oy и на промежутке \((-\infty;0]\) строго убывает к нулю.

Вторая часть: \(y=\sqrt{x}\) — функция корня, которая определяется при \(x\ge 0\) и возрастает на всём своём промежутке. Начальная точка \((0,0)\), далее кривая плавно идёт вверх.

Ответ: функция убывает на \((-\infty;0]\) и возрастает на \([0;+\infty)\).

2) \( f(x)=
\begin{cases}
x^{5}, & x<-1,\\
-x-2, & x\ge -1
\end{cases}\)

Первая часть: \(y=x^{5}\) — нечетная степенная функция, строго возрастает на всей числовой прямой, значит и на \((-\infty;-1]\).

Вторая часть: \(y=-x-2\) — линейная функция с угловым коэффициентом \(-1\), строго убывает на \(\mathbb{R}\). На промежутке \([-1;+\infty)\) эта часть задаёт спадающую прямую.

Ответ: функция возрастает на \((-\infty;-1]\) и убывает на \([-1;+\infty)\).

Построить график функции:

1) \( f(x)=
\begin{cases}
x^{4}, & x<0,\\
\sqrt{x}, & x\ge 0
\end{cases}\)

Функция \(y=x^{4}\) является четной степенной функцией с показателем 4. Такой график симметричен относительно оси Oy и всегда принимает только неотрицательные значения. При отрицательных значениях x результат остаётся положительным. В точке (0,0) достигается минимум, а при удалении от нуля значения возрастают, стремясь к бесконечности.

Таблица значений для \(y=x^{4}\):

Функция \(y=\sqrt{x}\) определяется только при \(x\ge 0\). Это корневая функция, которая начинается в точке (0,0) и возрастает при увеличении x, принимая всё большие значения y.

Таблица значений для \(y=\sqrt{x}\):

Графики функций:

Ответ: часть \(y=x^{4}\) убывает на \((-\infty;0]\), а часть \(y=\sqrt{x}\) возрастает на \([0;+\infty)\). Общих точек пересечения у этих графиков нет.

2) \( f(x)=
\begin{cases}
x^{5}, & x<-1,\\
-x-2, & x\ge -1
\end{cases}\)

Функция \(y=x^{5}\) является нечетной степенной функцией, которая возрастает на всей числовой прямой. При отрицательных x значения отрицательные, при положительных — положительные. На промежутке \((-\infty;-1]\) функция строго возрастает.

Таблица значений для \(y=x^{5}\):

Функция \(y=-x-2\) — это убывающая прямая с угловым коэффициентом -1. Она пересекает ось y в точке (0,-2) и на промежутке \([-1;+\infty)\) продолжает линейно убывать.

Таблица значений для \(y=-x-2\):

Графики функций:

Ответ: часть \(y=x^{5}\) возрастает на \((-\infty;-1]\), часть \(y=-x-2\) убывает на \([-1;+\infty)\). Эти графики не имеют общих точек пересечения.