ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x)=\begin{cases}x^3,\ \text{если } x<0,\\-\sqrt{x},\ \text{если } x\ge 0.\end{cases}\)

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Построить график функции:

1) \( f(x)=
\begin{cases}
x^{3}, & x<0,\\
-\sqrt{x}, & x\ge 0
\end{cases}\)

Функция \(y=x^{3}\) является нечетной степенной функцией. Её график симметричен относительно начала координат, и при отрицательных значениях x функция принимает отрицательные значения, а при положительных — положительные. На промежутке \((-\infty;0]\) функция строго возрастает.

Таблица значений для \(y=x^{3}\):

Функция \(y=-\sqrt{x}\) является корневой функцией, умноженной на -1. Это означает, что её график представляет собой отражение функции \(\sqrt{x}\) относительно оси Ox. Начало графика находится в точке (0,0). При увеличении x значения y становятся всё более отрицательными. На промежутке \([0;+\infty)\) функция строго убывает.

Таблица значений для \(y=-\sqrt{x}\):

Графики функций:

Ответ: часть \(y=x^{3}\) возрастает на \((-\infty;0]\), часть \(y=-\sqrt{x}\) убывает на \([0;+\infty)\). Функция \(f(x)\) меняет характер монотонности в точке x=0.

Построить график функции:

1) \( f(x)=\begin{cases} x^{3}, & x<0,\\ -\sqrt{x}, & x\ge 0 \end{cases}\)

Быстрые опорные факты о ветвях: левая ветвь \(y=x^{3}\) — нечетная степенная функция, строго возрастает на всей своей области определения; правая ветвь \(y=-\sqrt{x}\) — корневая функция, отражённая относительно оси \(Ox\), строго убывает на \(x\ge 0\).

Область определения и значения: для \(x<0\) определена \(x^{3}\), для \(x\ge 0\) определена \(-\sqrt{x}\), поэтому \(D_f=(-\infty;+\infty)\). Значения: \(x^{3}\) при \(x<0\) даёт \(y\in(-\infty;0)\); \(-\sqrt{x}\) при \(x\ge 0\) даёт \(y\in(-\infty;0]\). Следовательно, \(E_f=(-\infty;0]\).

Непрерывность в точке склейки \(x=0\): \(\lim\limits_{x\to 0^-}x^{3}=0\), \(\lim\limits_{x\to 0^+}(-\sqrt{x})=0\) и \(f(0)=0\). Значит, график непрерывен в \(x=0\).

Производные и монотонность: для \(x<0\) \(f'(x)=3x^{2}>0\Rightarrow\) строгое возрастание на \((-\infty;0)\). Для \(x>0\) \(f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}<0\Rightarrow\) строгое убывание на \((0;+\infty)\). Правосторонняя производная в нуле \(\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=-\infty\), левосторонняя \(f’_-(0)=0\) — функция не дифференцируема в \(x=0\) (угловая точка/вертикальная касательная справа).

Выпуклость: на \((-\infty;0)\) \(f»(x)=6x<0\) (выпукла вниз), на \((0;+\infty)\) \(f»(x)=\frac{1}{4x^{3/2}}>0\) (выпукла вверх). В \(x=0\) меняется характер выпуклости, но точки перегиба в строгом смысле нет из-за отсутствия производной.

Экстремумы и нули: глобальный максимум \(f(0)=0\). Минимума нет (функция неограниченно убывает вниз на \(x\ge 0\) и на \(x\to -\infty\)). Единственный ноль: \(x=0\).

Ориентиры для построения (левая ветвь \(y=x^{3}\)):

Ориентиры для построения (правая ветвь \(y=-\sqrt{x}\)):

Графики функций:

Итог по монотонности: функция возрастает на \((-\infty;0]\) и убывает на \([0;+\infty)\). В точке \(x=0\) — максимум \(0\) и разрыв производной.

Ответ: возрастания: \((-\infty; 0]\); убывания: \([0; +\infty)\).