ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько корней в зависимости от значения a имеет уравнение:
1) x^12=a-6;
2) x^24=a^2+7a-8?

Сколько корней в зависимости от значения a имеет уравнение:

1) x¹² = a − 6;

Правая часть должна быть неотрицательной, иначе корней нет:

• a − 6 > 0 ⇔ a > 6 — тогда x¹² = положительное число даёт два корня (±).
• a − 6 = 0 ⇔ a = 6 — тогда x¹² = 0 даёт единственный корень x = 0.
• a − 6 < 0 ⇔ a < 6 — тогда нет действительных корней.

Ответ:
• Два корня, если a ∈ (6; +∞);
• Один корень, если a = {6};
• Нет корней, если a ∈ (−∞; 6).

2) x²⁴ = a² + 7a − 8;

Правая часть должна быть неотрицательной:

a² + 7a − 8 ≥ 0.

Найдём корни квадратного трёхчлена:

• Дискриминант D = 7² − 4·1·(−8) = 49 + 32 = 81;
• a₁ = (−7 − 9)/2 = −8;
• a₂ = (−7 + 9)/2 = 1.

Тогда a² + 7a − 8 ≥ 0 при a ≤ −8 или a ≥ 1. В этих случаях уравнение даёт два корня ±(a²+7a−8)^1/24. Если правая часть равна нулю (при a = −8 или a = 1), то корень один (x = 0). Если правое выражение отрицательно (a ∈ (−8; 1)), корней нет.

Ответ:
• Два корня, если a ∈ (−∞; −8) ∪ (1; +∞);
• Один корень, если a = −8 или a = 1;
• Нет корней, если a ∈ (−8; 1).

Сколько корней в зависимости от значения a имеет уравнение:

1) x¹² = a − 6

Рассмотрим правую часть уравнения a − 6. Поскольку x¹² всегда неотрицательно (двенадцатая степень любого действительного числа ≥ 0), для существования действительного решения необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ≥ 0:

• Случай a > 6:
  a − 6 > 0, значит уравнение принимает вид x¹² = положительное число.
  У такого уравнения всегда ровно два действительных корня — положительный и отрицательный:
  x = ±(a − 6)1/12.
• Случай a = 6:
  a − 6 = 0, значит уравнение x¹² = 0.
  Корень ровно один — x = 0.
• Случай a < 6:
  a − 6 < 0, правая часть отрицательна.
  Уравнение x¹² = отрицательное число не имеет действительных решений.

Итог:

• a ∈ (6; +∞): два корня;
• a = 6: один корень;
• a ∈ (−∞; 6): нет корней.

2) x²⁴ = a² + 7a − 8

Правая часть — квадратный многочлен P(a) = a² + 7a − 8. Снова воспользуемся тем, что x²⁴ ≥ 0:

Найдём нули P(a) решением a² + 7a − 8 = 0:

Дискриминант D = 7² − 4·1·(−8) = 49 + 32 = 81.

Корни:
a₁ = (−7 − 9) / 2 = −8,
a₂ = (−7 + 9) / 2 = 1.

Построим знак многочлена:
Поскольку ведущий коэффициент положителен, P(a) ≥ 0 для a ≤ −8 или a ≥ 1;
и P(a) < 0 на промежутке (−8; 1).

Следовательно:

• Если a < −8 или a > 1, то P(a) > 0 и уравнение x²⁴ = P(a) имеет ровно два корня ±P(a)^1/24 (положительный и отрицательный).
• Если a = −8 или a = 1, то P(a) = 0 и уравнение сводится к x²⁴ = 0, дающему единственный корень x = 0.
• Если a ∈ (−8; 1), то P(a) < 0 и уравнение не имеет действительных решений.

Итог:

• a ∈ (−∞; −8) ∪ (1; +∞): два корня;
• a = −8 или a = 1: один корень;
• a ∈ (−8; 1): нет корней.