Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Сколько корней в зависимости от значения \(a\) имеет уравнение:
1) \(x^{12} = a — 6\);
2) \(x^{24} = a^{2} + 7a — 8\)?
Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра \(a\):
1) \(\;x^{12}=a-6\)
Поскольку \(\;x^{12}\ge 0\) для всех \(x\in\mathbb{R}\), правая часть должна быть неотрицательной:
\(a-6>0\;\Leftrightarrow\;a>6\) — два корня: \(x=\pm\sqrt[12]{\,a-6\,}\).
\(a-6=0\;\Leftrightarrow\;a=6\) — один корень: \(x=0\).
\(a-6<0\;\Leftrightarrow\;a<6\) — действительных корней нет.
Ответ: два — при \(a\in(6,+\infty)\); один — при \(a=6\); нет — при \(a\in(-\infty,6)\).
2) \(\;x^{24}=a^{2}+7a-8\)
Требуется \(\;a^{2}+7a-8\ge 0\). Разложим: \(\;a^{2}+7a-8=(a+8)(a-1)\). Тогда, с учётом знаков:
\(a<-8\) или \(a>1\) — правая часть \(>0\), два корня: \(x=\pm\sqrt[24]{\,a^{2}+7a-8\,}\).
\(a=-8\) или \(a=1\) — правая часть \(=0\), один корень: \(x=0\).
\(-8<a<1\) — правая часть \(<0\), корней нет.
Ответ: два — при \(a\in(-\infty,-8)\cup(1,+\infty)\); один — при \(a=-8\) или \(a=1\); нет — при \(a\in(-8,1)\).
Определим количество корней уравнений в зависимости от параметра \(a\).
1) \(\;x^{12}=a-6\)
Левая часть уравнения — выражение \(\;x^{12}\). Степень показателя равна 12, что является чётным числом. Это означает, что при любых значениях действительного \(x\) величина \(\;x^{12}\) будет неотрицательной, так как возведение числа в чётную степень всегда даёт результат больше либо равный нулю. Таким образом, для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы правая часть также была неотрицательной: \(\;a-6\geq 0\).
Теперь рассмотрим три возможных случая:
Если \(\;a>6\), то \(\;a-6\) положительно. Тогда уравнение имеет вид \(\;x^{12}=C\), где \(\;C>0\). Такое уравнение всегда имеет два действительных корня, потому что решением будет:
\[
x=\pm (a-6)^{1/12}.
\]
Один корень положителен, другой отрицателен, но оба удовлетворяют условию.
Если \(\;a=6\), то \(\;a-6=0\). Уравнение принимает вид \(\;x^{12}=0\). Единственным числом, которое в 12-й степени даёт ноль, является ноль, следовательно:
\[
x=0.
\]
В этом случае корень ровно один.
Если \(\;a<6\), то правая часть отрицательна: \(\;a-6<0\). Однако \(\;x^{12}\) не может быть отрицательным при любых действительных значениях \(x\). Следовательно, решений в этом случае не существует.
Вывод для первого уравнения:
— при \(\;a\in(6,+\infty)\) уравнение имеет два корня;
— при \(\;a=6\) существует ровно один корень;
— при \(\;a\in(-\infty,6)\) корней нет.
2) \(\;x^{24}=a^{2}+7a-8\)
Левая часть уравнения \(\;x^{24}\) также всегда неотрицательна, так как 24-я степень любого действительного числа не может быть отрицательной. Это означает, что для существования решений необходимо, чтобы выражение \(\;a^{2}+7a-8\) было больше либо равно нулю.
Обозначим \(\;P(a)=a^{2}+7a-8\). Это квадратный многочлен, графиком которого является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \(\;a^{2}\) положителен. Чтобы определить, на каких промежутках \(\;P(a)\geq 0\), необходимо найти его корни.
Рассчитаем дискриминант:
\[
D=7^{2}-4\cdot 1\cdot (-8)=49+32=81.
\]
Так как дискриминант положителен, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
\[
a_{1}=\frac{-7-9}{2}=-8,\quad a_{2}=\frac{-7+9}{2}=1.
\]
Теперь рассмотрим промежутки, на которых многочлен принимает положительные и отрицательные значения. Так как ветви параболы направлены вверх, выражение \(\;a^{2}+7a-8\) будет:
— положительным при \(\;a\leq -8\) или \(\;a\geq 1\);
— отрицательным при \(\;a\in(-8,1)\).
Исходя из этого:
Если \(\;a<-8\) или \(\;a>1\), то правая часть положительна. Уравнение принимает вид \(\;x^{24}=C\), где \(\;C>0\). В этом случае существуют два корня:
\[
x=\pm (a^{2}+7a-8)^{1/24}.
\]
Если \(\;a=-8\) или \(\;a=1\), то \(\;P(a)=0\). Уравнение сводится к виду \(\;x^{24}=0\). Единственным решением является:
\[
x=0.
\]
Следовательно, корень ровно один.
Если \(\;a\in(-8,1)\), то выражение \(\;a^{2}+7a-8\) отрицательно. Но \(\;x^{24}\) отрицательным быть не может, поэтому решений в этом случае не существует.
Вывод для второго уравнения:
— два корня, если \(\;a\in(-\infty,-8)\cup(1,+\infty)\);
— один корень, если \(\;a=-8\) или \(\;a=1\);
— нет корней, если \(\;a\in(-8,1)\).
