Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Постройте график уравнения:
1) \((y+2)^{0}=x-2\);
2) \((y-2)^{0}=(x+1)^{0}\).
Построить график функции:
1) \( (y + 2)^0 = x — 2 \).
Шаг 1: Область определения функции:
Так как любое ненулевое выражение в нулевой степени равно 1, имеем:
\( (y + 2)^0 = 1 \).
Тогда уравнение принимает вид:
\( 1 = x — 2 \).
Отсюда:
\( x = 3 \), а \( y \in \mathbb{R} \).
Шаг 2: Выражение имеет смысл при:
\( y + 2 \neq 0 \), то есть \( y \neq -2 \).
График уравнения:
Прямая \( x = 3 \), проходящая через все значения \( y \), кроме точки \( (3; -2) \), где функция не определена (выколотая точка).
2) \( (y — 2)^0 = (x + 1)^0 \).
Шаг 1: Область определения функции:
Так как любое ненулевое основание в нулевой степени равно 1, получаем:
\( 1 = 1 \).
Это тождество выполняется для всех значений \( x \) и \( y \).
Значит:
\( x \in \mathbb{R}, \; y \in \mathbb{R} \).
Шаг 2: Выражение имеет смысл при:
Основания под нулевой степенью не должны равняться нулю:
\( y — 2 \neq 0 \) → \( y \neq 2 \);
\( x + 1 \neq 0 \) → \( x \neq -1 \).
График уравнения:
Графиком является вся плоскость с исключением прямых \( y = 2 \) и \( x = -1 \), так как в этих местах выражение не определено.
Построить график функции:
1) \( (y + 2)^0 = x — 2 \).
Шаг 1: Анализ выражения и область определения:
Выражение \((y+2)^0\) при условии, что основание степени \(y+2 \neq 0\), всегда равно 1. Это ключевое свойство степенной функции с показателем 0. Однако, если \(y+2 = 0\), то есть при \(y = -2\), выражение становится неопределённым, потому что \(0^0\) не имеет смысла. Следовательно, область определения ограничена условием \( y \neq -2 \).
Шаг 2: Приравнивание функций для нахождения графика:
Подставим это свойство в уравнение:
\((y+2)^0 = x — 2 \)
\(\Rightarrow 1 = x — 2\).
Шаг 3: Решение уравнения:
Переносим -2 вправо:
\( x = 1 + 2 \).
Таким образом, получаем \( x = 3 \).
Шаг 4
Полученное уравнение означает, что для всех значений \( y \), кроме \( y = -2 \), функция существует и равна вертикальной прямой линии \( x = 3 \). Исключение составит только одна точка \((3; -2)\), которая не принадлежит графику.
Вывод: график функции представляет собой вертикальную прямую \( x = 3 \), но с «дыркой» в точке \((3; -2)\), так как там функция не определена.
2) \( (y — 2)^0 = (x + 1)^0 \).
Шаг 1: Анализ выражения и область определения:
Любое ненулевое основание, возведённое в нулевую степень, равно 1. Это свойство выполняется только при условии, что основание не равно нулю. В данном случае:
— \( y — 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq 2 \),
— \( x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \).
Таким образом, область определения исключает прямые \( y = 2 \) и \( x = -1 \).
Шаг 2: Приравнивание функций:
Так как \((y — 2)^0 = 1\) и \((x + 1)^0 = 1\) при выполнении вышеуказанных условий, получаем равенство:
\( 1 = 1 \).
Это тождество выполняется всегда.
Шаг 3:
Из тождества \( 1 = 1 \) следует, что данное уравнение верно для всех пар \((x, y)\), кроме тех, где нарушаются условия области определения, то есть где \( y = 2 \) или \( x = -1 \). В этих случаях хотя бы одно основание в нулевой степени становится нулём, что делает выражение неопределённым.
Вывод: график функции занимает всю координатную плоскость. Однако из этого графика исключаются две прямые: горизонтальная линия \( y = 2 \) и вертикальная линия \( x = -1 \). На графике это будет выглядеть как заполненная вся плоскость точками, кроме двух выколотых линий.
