ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(y = x^{-5} — 3\);

2) \(y = 4x^{-5}\);

3) \(y = (x+1)^{-4}\);

4) \(y = -x^{-4}\).

Построить график функции:

1) \( y = x^{-5} — 3 = \frac{1}{x^{5}} — 3 \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{5}} \);

График функции \( y = \frac{1}{x^{5}} \) является гиперболой, но в отличие от чётных степеней, он проходит через I и III квадранты координатной плоскости, так как функция нечётная. При \( x > 0 \) значения функции положительные и убывают к нулю при \( x \to +\infty \), а при \( x \to 0^{+} \) стремятся к \( +\infty \). При \( x < 0 \) значения функции отрицательные, при \( x \to -\infty \) они стремятся к нулю, а при \( x \to 0^{-} \) устремляются к \( -\infty \). Вертикальная асимптота — ось \( y \), горизонтальная асимптота — ось \( x \).

Шаг 2: Переместим его на 3 единицы вниз:

Вычитание 3 смещает график вниз. Горизонтальная асимптота теперь \( y = -3 \), а все значения функции уменьшились на 3.

График функции:

2) \( y = 4x^{-5} = \frac{4}{x^{5}} \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{5}} \);

Как и ранее, график проходит через I и III квадранты и имеет асимптоты \( x = 0 \) и \( y = 0 \).

Шаг 2: Растянем его в 4 раза от оси абсцисс:

Множитель 4 увеличивает значения функции в 4 раза. Это делает ветви графика более крутыми: для того же значения \( x \) ординаты в 4 раза больше по модулю.

График функции:

3) \( y = (x + 1)^{-4} = \frac{1}{(x+1)^{4}} \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{4}} \);

Так как показатель степени чётный, график полностью находится в верхней полуплоскости. Ветви расположены в I и II квадрантах. При \( x \to 0 \) функция стремится к \( +\infty \), а при \( |x| \to \infty \) стремится к нулю. Горизонтальная асимптота — \( y = 0 \).

Шаг 2: Переместим его на 1 единицу влево:

Замена \( x \to (x+1) \) сдвигает график влево на одну единицу. Теперь вертикальная асимптота будет в точке \( x = -1 \).

График функции:

4) \( y = -x^{-4} = -\frac{1}{x^{4}} \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{4}} \);

Базовый график — всегда положительный, обе ветви находятся выше оси абсцисс.

Шаг 2: Отразим его относительно оси абсцисс:

Множитель «−1» меняет знак всех значений функции. Теперь обе ветви графика находятся ниже оси абсцисс, в III и IV квадрантах. Горизонтальная асимптота остаётся \( y = 0 \), вертикальная — \( x = 0 \).

График функции:

Построить график функции:

1) \( y = x^{-5} — 3 = \frac{1}{x^{5}} — 3 \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{5}} \);

Функция \( y = \frac{1}{x^{5}} \) нечётная, поэтому её график симметричен относительно начала координат. При \( x > 0 \) функция положительна, быстро убывает к нулю при \( x \to +\infty \), а при \( x \to 0^{+} \) устремляется к \( +\infty \). При \( x < 0 \) функция отрицательна, при \( x \to -\infty \) значения стремятся к нулю, а при \( x \to 0^{-} \) устремляются к \( -\infty \). Вертикальная асимптота: \( x = 0 \). Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \).

Шаг 2: Переместим его на 3 единицы вниз:

Вычитание 3 из функции сдвигает график на 3 единицы вниз. Теперь горизонтальная асимптота будет \( y = -3 \), а поведение графика около вертикальной асимптоты остаётся тем же.

График функции:

2) \( y = 4x^{-5} = \frac{4}{x^{5}} \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{5}} \);

Форма графика сохраняется такой же, как и в первом случае: ветви в I и III квадрантах, асимптоты \( x = 0 \) и \( y = 0 \).

Шаг 2: Растянем его в 4 раза от оси абсцисс:

Множитель 4 увеличивает значения функции в 4 раза. Это делает график более «крутым»: для одного и того же значения \( x \) ординаты будут в 4 раза больше по модулю.

График функции:

3) \( y = (x+1)^{-4} = \frac{1}{(x+1)^{4}} \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{4}} \);

Так как степень чётная, график находится только в верхней полуплоскости. При \( x \to 0 \) значения стремятся к \( +\infty \), при \( |x| \to \infty \) стремятся к нулю. Горизонтальная асимптота — \( y = 0 \), вертикальная — \( x = 0 \).

Шаг 2: Переместим его на 1 единицу влево:

Замена \( x \) на \( (x+1) \) сдвигает график на 1 единицу влево. Теперь вертикальная асимптота будет проходить через \( x = -1 \).

График функции:

4) \( y = -x^{-4} = -\frac{1}{x^{4}} \);

Шаг 1: Построим график функции \( y = \frac{1}{x^{4}} \);

График имеет ветви в I и II квадрантах, всегда положителен и симметричен относительно оси \( y \).

Шаг 2: Отразим его относительно оси абсцисс:

Множитель «−1» меняет знак всех значений функции. Теперь обе ветви будут находиться в III и IV квадрантах, график остаётся симметричным относительно оси \( y \), но полностью расположен ниже оси \( x \).

График функции: