Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Определите графически количество решений системы уравнений:
1) \(\left\{\begin{aligned} y&=x^{-6},\\ y&=4-x^{2}. \end{aligned}\right.\)
2) \(\left\{\begin{aligned} y&=x^{-3},\\ y&=x^{3}+3. \end{aligned}\right.\)
Определить графически количество решений системы уравнений:
1) \( y = x^{-6} \) и \( y = 4 — x^{2} \);
\( y = x^{-6} \) — чётная степенная функция, так как показатель степени равен \(-6\), что является чётным числом. Следовательно, график функции симметричен относительно оси ординат. Эта функция принимает только положительные значения и имеет вертикальную асимптоту при \( x = 0 \), так как при приближении к нулю её значения возрастают до \( +\infty \). При больших значениях \( |x| \) функция стремится к нулю.
Для проверки возьмём точку \( x = -1 \): \( f(-1) = (-1)^{-6} = 1 \). Таким образом, значение функции в этой точке равно 1.
\( y = 4 — x^{2} \) — также чётная функция, так как показатель степени при \( x \) равен 2 (чётное число). Следовательно, её график симметричен относительно оси ординат. Это парабола, ветви которой направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке \( (0; 4) \), так как при \( x = 0 \) получаем \( y = 4 \).
Таблица значений для функции \( y = 4 — x^{2} \):
При \( x = 1 \): \( y = 4 — 1 = 3 \).
При \( x = 2 \): \( y = 4 — 4 = 0 \).
При \( x = 3 \): \( y = 4 — 9 = -5 \).
Графики функций:
На графике видно, что кривая \( y = x^{-6} \) пересекается с параболой \( y = 4 — x^{2} \) в четырёх точках. Следовательно, система уравнений имеет 4 решения.
Ответ: 4 решения.
Определить графически количество решений системы уравнений:
2) \( y = x^{-3} \) и \( y = x^{3} + 3 \);
\( y = x^{-3} \) — нечётная степенная функция, так как показатель степени равен \(-3\). Это означает, что её график симметричен относительно начала координат. Функция имеет вертикальную асимптоту при \( x = 0 \), а при \( x \to 0^+ \) значения функции стремятся к \( +\infty \), при \( x \to 0^- \) — к \( -\infty \). При \( x \to \pm \infty \) функция стремится к нулю.
Пример: при \( x = -1 \): \( f(-1) = (-1)^{-3} = -1 \).
\( y = x^{3} + 3 \) — кубическая функция, которая также является нечётной по своей структуре, но сдвинута на 3 единицы вверх. При \( x = 0 \) значение функции равно \( 3 \), так как \( f(0) = 0^{3} + 3 = 3 \).
Таблица значений для функции \( y = x^{3} + 3 \):
При \( x = -2 \): \( y = (-2)^{3} + 3 = -8 + 3 = -5 \).
При \( x = -1 \): \( y = (-1)^{3} + 3 = -1 + 3 = 2 \).
При \( x = 1 \): \( y = (1)^{3} + 3 = 1 + 3 = 4 \).
Графики функций:
Решение:
При построении графиков видно, что кривая \( y = x^{-3} \) пересекается с кубической функцией \( y = x^{3} + 3 \) в двух точках. Таким образом, система уравнений имеет ровно 2 решения.
Ответ: 2 решения.
Определить графически количество решений системы уравнений:
1) Система уравнений:
\( y = x^{-6} \) и \( y = 4 — x^{2} \);
\( y = x^{-6} \) — чётная степенная функция: показатель степени \(-6\) является чётным, поэтому функция симметрична относительно оси \(y\). Она принимает только положительные значения, при \( x \to 0 \) значения функции стремятся к \( +\infty \), а при \( |x| \to \infty \) функция стремится к нулю.
Асимптоты: вертикальная асимптота в точке \( x = 0 \). Горизонтальная асимптота — прямая \( y = 0 \).
Таблица значений для функции \( y = x^{-6} \):
При \( x = -1 \): \( y = (-1)^{-6} = 1 \).
При \( x = 2 \): \( y = (2)^{-6} = \frac{1}{64} \).
\( y = 4 — x^{2} \) — чётная функция: это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке \( (0;4) \). При увеличении \( |x| \) значения функции убывают.
Таблица значений для функции \( y = 4 — x^{2} \):
При \( x = 1 \): \( y = 4 — 1 = 3 \).
При \( x = 2 \): \( y = 4 — 4 = 0 \).
При \( x = 3 \): \( y = 4 — 9 = -5 \).
Графики функций:
Решение:
Графики функций \( y = x^{-6} \) и \( y = 4 — x^{2} \) пересекаются в четырёх точках.
Это означает, что система уравнений имеет 4 решения.
2) Система уравнений:
\( y = x^{-3} \) и \( y = x^{3} + 3 \);
\( y = x^{-3} \) — нечётная степенная функция: показатель степени \(-3\) является нечётным, поэтому функция симметрична относительно начала координат. При \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \), при \( x \to 0^- \), \( y \to -\infty \). При \( |x| \to \infty \) функция стремится к нулю.
Таблица значений для функции \( y = x^{-3} \):
При \( x = -1 \): \( y = (-1)^{-3} = -1 \).
При \( x = 2 \): \( y = (2)^{-3} = \frac{1}{8} \).
\( y = x^{3} + 3 \) — кубическая функция: график проходит через точку \( (0;3) \), возрастает на всей области определения, при \( x \to +\infty \) значения функции стремятся к \( +\infty \), при \( x \to -\infty \) — к \( -\infty \).
Таблица значений для функции \( y = x^{3} + 3 \):
При \( x = -2 \): \( y = (-2)^{3} + 3 = -8 + 3 = -5 \).
При \( x = -1 \): \( y = (-1)^{3} + 3 = -1 + 3 = 2 \).
При \( x = 1 \): \( y = 1^{3} + 3 = 4 \).
Графики функций:
Решение:
Графики функций \( y = x^{-3} \) и \( y = x^{3} + 3 \) пересекаются в двух точках.
Это означает, что система уравнений имеет 2 решения.
