ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Определите графически количество решений системы уравнений:

1) \(\left\{\begin{aligned} y&=x^{-3},\\ y&=\frac{1}{8}x^{2}-4. \end{aligned}\right.\)

2) \(\left\{\begin{aligned} y&=x^{-2},\\ y&=x^{2}-2. \end{aligned}\right.\)

Определить графически количество решений системы уравнений:

1) Система уравнений:

\( y = x^{-3} \) и \( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \);

\( y = x^{-3} \) — нечётная степенная функция: график симметричен относительно начала координат, имеет вертикальную асимптоту при \( x = 0 \). При \( x \to 0^{+} \), \( y \to +\infty \), при \( x \to 0^{-} \), \( y \to -\infty \). При \( |x| \to \infty \), \( y \to 0 \).

Таблица значений для функции \( y = x^{-3} \):

При \( x = -1 \): \( y = (-1)^{-3} = -1 \).

При \( x = 1 \): \( y = 1^{-3} = 1 \).

\( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \) — чётная функция: это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке \( (0; -4) \). Значения функции возрастают при увеличении \( |x| \).

Таблица значений для функции \( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \):

При \( x = -4 \): \( y = \frac{1}{8}\cdot16 — 4 = -2 \).

При \( x = 4 \): \( y = \frac{1}{8}\cdot16 — 4 = -2 \).

Графики функций:

Решение:

Графики функций \( y = x^{-3} \) и \( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \) пересекаются в трёх точках.

Это означает, что система уравнений имеет 3 решения.

2) Система уравнений:

\( y = x^{-2} \) и \( y = x^{2} — 2 \);

\( y = x^{-2} \) — чётная функция: принимает только положительные значения, симметрична относительно оси \( y \), имеет вертикальную асимптоту в точке \( x = 0 \), при \( |x| \to \infty \), \( y \to 0 \).

Таблица значений для функции \( y = x^{-2} \):

При \( x = -1 \): \( y = (-1)^{-2} = 1 \).

При \( x = 2 \): \( y = 2^{-2} = \frac{1}{4} \).

\( y = x^{2} — 2 \) — чётная функция: парабола с вершиной в точке \( (0; -2) \), ветви направлены вверх. При увеличении \( |x| \), функция неограниченно возрастает.

Таблица значений для функции \( y = x^{2} — 2 \):

При \( x = 1 \): \( y = 1 — 2 = -1 \).

При \( x = 2 \): \( y = 4 — 2 = 2 \).

При \( x = 3 \): \( y = 9 — 2 = 7 \).

Графики функций:

Решение:

Графики функций \( y = x^{-2} \) и \( y = x^{2} — 2 \) пересекаются в двух точках.

Следовательно, система уравнений имеет 2 решения.

Определить графически количество решений системы уравнений:

1) Система уравнений:

\( y = x^{-3} \) и \( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \);

\( y = x^{-3} \) — нечетная степенная функция: Это уравнение представляет собой функцию, которая при положительных значениях \( x \) стремится к \( +\infty \), а при отрицательных значениях \( x \) — к \( -\infty \). График будет симметричен относительно оси \( y \) и будет иметь вертикальную асимптоту в точке \( x = 0 \).

\( x_0 = 0 \) и \( y_0 = 0 \); график функции имеет вертикальную асимптоту в точке \( x = 0 \), и значения функции стремятся к бесконечности при приближении \( x \) к нулю.

Таблица значений для функции \( y = x^{-3} \):

\( x = -1 \): \( y = -1 \), так как \( (-1)^{-3} = -1 \).

\( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \) — четная степенная функция: Это парабола, открывающаяся вверх. График функции имеет ось симметрии в точке \( x = 0 \).

\( x_0 = 0 \) и \( y_0 = -4 \); график функции пересекает ось \( y \) в точке \( -4 \), и это минимальная точка.

Таблица значений для функции \( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \):

\( x = -4 \): \( y = -2 \), так как \( \frac{1}{8}(-4)^{2} — 4 = -2 \).

\( x = 4 \): \( y = -2 \), так как \( \frac{1}{8}(4)^{2} — 4 = -2 \).

Графики функций:

Решение:

Графики функций пересекаются в 3 точках, значит система имеет 3 решения.

Ответ: 3 решения.

2) Система уравнений:

\( y = x^{-2} \) и \( y = x^{2} — 2 \);

\( y = x^{-2} \) — четная степенная функция: Это гипербола с вертикальной асимптотой при \( x = 0 \). График симметричен относительно оси \( y \). При \( x \to 0 \) функция стремится к \( +\infty \), а при \( x \to \pm\infty \) функция стремится к \( 0 \).

\( x_0 = 0 \) и \( y_0 = 0 \); вертикальная асимптота в точке \( x = 0 \).

Таблица значений для функции \( y = x^{-2} \):

\( x = -1 \): \( y = 1 \), так как \( (-1)^{-2} = 1 \).

\( y = x^{2} — 2 \) — четная степенная функция: Это парабола, открывающаяся вверх. Она имеет вершину в точке \( (0; -2) \).

\( x_0 = 0 \) и \( y_0 = -2 \); точка пересечения с осью \( y \).

Таблица значений для функции \( y = x^{2} — 2 \):

\( x = 1 \): \( y = -1 \), так как \( 1^{2} — 2 = -1 \).

\( x = 2 \): \( y = 2 \), так как \( 2^{2} — 2 = 2 \).

\( x = 3 \): \( y = 7 \), так как \( 3^{2} — 2 = 7 \).

Графики функций:

Решение:

Графики функций пересекаются в 2 точках, значит система имеет 2 решения.

Ответ: 2 решения.