Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Определите графически количество решений системы уравнений:
1) \(\left\{\begin{aligned} y&=x^{-3},\\ y&=\frac{1}{8}x^{2}-4. \end{aligned}\right.\)
2) \(\left\{\begin{aligned} y&=x^{-2},\\ y&=x^{2}-2. \end{aligned}\right.\)
Определить графически количество решений системы уравнений:
1) Система уравнений:
\( y = x^{-3} \) и \( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \);
\( y = x^{-3} \) — нечётная степенная функция: график симметричен относительно начала координат, имеет вертикальную асимптоту при \( x = 0 \). При \( x \to 0^{+} \), \( y \to +\infty \), при \( x \to 0^{-} \), \( y \to -\infty \). При \( |x| \to \infty \), \( y \to 0 \).
Таблица значений для функции \( y = x^{-3} \):
При \( x = -1 \): \( y = (-1)^{-3} = -1 \).
При \( x = 1 \): \( y = 1^{-3} = 1 \).
\( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \) — чётная функция: это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке \( (0; -4) \). Значения функции возрастают при увеличении \( |x| \).
Таблица значений для функции \( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \):
При \( x = -4 \): \( y = \frac{1}{8}\cdot16 — 4 = -2 \).
При \( x = 4 \): \( y = \frac{1}{8}\cdot16 — 4 = -2 \).
Графики функций:
Решение:
Графики функций \( y = x^{-3} \) и \( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \) пересекаются в трёх точках.
Это означает, что система уравнений имеет 3 решения.
2) Система уравнений:
\( y = x^{-2} \) и \( y = x^{2} — 2 \);
\( y = x^{-2} \) — чётная функция: принимает только положительные значения, симметрична относительно оси \( y \), имеет вертикальную асимптоту в точке \( x = 0 \), при \( |x| \to \infty \), \( y \to 0 \).
Таблица значений для функции \( y = x^{-2} \):
При \( x = -1 \): \( y = (-1)^{-2} = 1 \).
При \( x = 2 \): \( y = 2^{-2} = \frac{1}{4} \).
\( y = x^{2} — 2 \) — чётная функция: парабола с вершиной в точке \( (0; -2) \), ветви направлены вверх. При увеличении \( |x| \), функция неограниченно возрастает.
Таблица значений для функции \( y = x^{2} — 2 \):
При \( x = 1 \): \( y = 1 — 2 = -1 \).
При \( x = 2 \): \( y = 4 — 2 = 2 \).
При \( x = 3 \): \( y = 9 — 2 = 7 \).
Графики функций:
Решение:
Графики функций \( y = x^{-2} \) и \( y = x^{2} — 2 \) пересекаются в двух точках.
Следовательно, система уравнений имеет 2 решения.
Определить графически количество решений системы уравнений:
1) Система уравнений:
\( y = x^{-3} \) и \( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \);
\( y = x^{-3} \) — нечетная степенная функция: Это уравнение представляет собой функцию, которая при положительных значениях \( x \) стремится к \( +\infty \), а при отрицательных значениях \( x \) — к \( -\infty \). График будет симметричен относительно оси \( y \) и будет иметь вертикальную асимптоту в точке \( x = 0 \).
\( x_0 = 0 \) и \( y_0 = 0 \); график функции имеет вертикальную асимптоту в точке \( x = 0 \), и значения функции стремятся к бесконечности при приближении \( x \) к нулю.
Таблица значений для функции \( y = x^{-3} \):
\( x = -1 \): \( y = -1 \), так как \( (-1)^{-3} = -1 \).
\( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \) — четная степенная функция: Это парабола, открывающаяся вверх. График функции имеет ось симметрии в точке \( x = 0 \).
\( x_0 = 0 \) и \( y_0 = -4 \); график функции пересекает ось \( y \) в точке \( -4 \), и это минимальная точка.
Таблица значений для функции \( y = \frac{1}{8}x^{2} — 4 \):
\( x = -4 \): \( y = -2 \), так как \( \frac{1}{8}(-4)^{2} — 4 = -2 \).
\( x = 4 \): \( y = -2 \), так как \( \frac{1}{8}(4)^{2} — 4 = -2 \).
Графики функций:
Решение:
Графики функций пересекаются в 3 точках, значит система имеет 3 решения.
Ответ: 3 решения.
2) Система уравнений:
\( y = x^{-2} \) и \( y = x^{2} — 2 \);
\( y = x^{-2} \) — четная степенная функция: Это гипербола с вертикальной асимптотой при \( x = 0 \). График симметричен относительно оси \( y \). При \( x \to 0 \) функция стремится к \( +\infty \), а при \( x \to \pm\infty \) функция стремится к \( 0 \).
\( x_0 = 0 \) и \( y_0 = 0 \); вертикальная асимптота в точке \( x = 0 \).
Таблица значений для функции \( y = x^{-2} \):
\( x = -1 \): \( y = 1 \), так как \( (-1)^{-2} = 1 \).
\( y = x^{2} — 2 \) — четная степенная функция: Это парабола, открывающаяся вверх. Она имеет вершину в точке \( (0; -2) \).
\( x_0 = 0 \) и \( y_0 = -2 \); точка пересечения с осью \( y \).
Таблица значений для функции \( y = x^{2} — 2 \):
\( x = 1 \): \( y = -1 \), так как \( 1^{2} — 2 = -1 \).
\( x = 2 \): \( y = 2 \), так как \( 2^{2} — 2 = 2 \).
\( x = 3 \): \( y = 7 \), так как \( 3^{2} — 2 = 7 \).
Графики функций:
Решение:
Графики функций пересекаются в 2 точках, значит система имеет 2 решения.
Ответ: 2 решения.
