Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Сравните числа:
1) \(\sqrt{\frac{1}{3}}\) и \(\sqrt{\frac{1}{5}}\);
2) \(\sqrt{32}\) и \(\sqrt{26}\);
3) \(\sqrt{33}\) и \(6\);
4) \(3\sqrt{5}\) и \(\sqrt{42}\);
5) \(\sqrt{30}\) и \(2\sqrt{7}\);
6) \(7\sqrt{\frac{1}{7}}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{20}\).
Сравнить числа:
1) \( \sqrt{\frac{1}{3}} \) и \( \sqrt{\frac{1}{5}} \)
Так как \( 3 < 5 \), то \( \frac{1}{3} > \frac{1}{5} \). Следовательно, \( \sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}} \).
Ответ: \( \sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}} \).
2) \( \sqrt{32} \) и \( \sqrt{26} \)
Так как \( 32 > 26 \), то \( \sqrt{32} > \sqrt{26} \).
Ответ: \( \sqrt{32} > \sqrt{26} \).
3) \( \sqrt{33} \) и \( \sqrt{36} \)
Так как \( 33 < 36 \), то \( \sqrt{33} < \sqrt{36} = 6 \).
Ответ: \( \sqrt{33} < 6 \).
4) \( 3\sqrt{5} \) и \( \sqrt{42} \)
Преобразуем: \( 3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \). Так как \( 45 > 42 \), то \( \sqrt{45} > \sqrt{42} \).
Ответ: \( 3\sqrt{5} > \sqrt{42} \).
5) \( \sqrt{30} \) и \( 2\sqrt{7} \)
Преобразуем: \( 2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28} \). Так как \( 30 > 28 \), то \( \sqrt{30} > \sqrt{28} \).
Ответ: \( \sqrt{30} > 2\sqrt{7} \).
6) \( \sqrt{\frac{1}{7}} \) и \( \frac{1}{2}\sqrt{20} \)
Первое число: \( \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \).
Второе число: \( \frac{1}{2}\sqrt{20} = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5} \).
Поскольку \( \frac{1}{\sqrt{7}} \approx 0.378 \), а \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), то \( \sqrt{\frac{1}{7}} < \frac{1}{2}\sqrt{20} \).
Ответ: \( 7\sqrt{\frac{1}{7}} < \frac{1}{2}\sqrt{20} \).
Сравнить числа:
1) \( \sqrt{\frac{1}{3}} \) и \( \sqrt{\frac{1}{5}} \)
Для начала рассмотрим дроби под знаком корня. Мы имеем \( \frac{1}{3} \) и \( \frac{1}{5} \). Так как знаменатель у первой дроби меньше, чем у второй, получаем, что сама дробь \( \frac{1}{3} \) больше \( \frac{1}{5} \). Свойство квадратного корня заключается в том, что он сохраняет порядок на множестве положительных чисел: если \( a > b \), то и \( \sqrt{a} > \sqrt{b} \). Поэтому, раз \( \frac{1}{3} > \frac{1}{5} \), то \( \sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}} \).
Ответ: \( \sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}} \).
2) \( \sqrt{32} \) и \( \sqrt{26} \)
Сравним подкоренные выражения: \( 32 \) и \( 26 \). Очевидно, что \( 32 > 26 \). Поскольку квадратный корень является монотонно возрастающей функцией для всех неотрицательных чисел, то и результат после извлечения корня сохранит порядок неравенства: \( \sqrt{32} > \sqrt{26} \). Таким образом, можно сделать вывод, что большее подкоренное выражение всегда дает больший корень.
Ответ: \( \sqrt{32} > \sqrt{26} \).
3) \( \sqrt{33} \) и \( \sqrt{36} \)
Рассмотрим известное значение \( \sqrt{36} = 6 \). Теперь, если мы сравним подкоренные выражения \( 33 \) и \( 36 \), то видим, что \( 33 < 36 \). Так как квадратный корень сохраняет порядок чисел, получаем \( \sqrt{33} < \sqrt{36} \). То есть первое выражение меньше второго. Для наглядности отметим, что \( \sqrt{33} \) будет числом, чуть меньшим, чем 6, а именно приблизительно \( 5.744 \).
Ответ: \( \sqrt{33} < 6 \).
4) \( 3\sqrt{5} \) и \( \sqrt{42} \)
Для корректного сравнения приведем оба выражения к виду одного квадратного корня. Начнем с преобразования: \( 3\sqrt{5} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \). Теперь у нас есть два выражения: \( \sqrt{45} \) и \( \sqrt{42} \). Подкоренные выражения \( 45 \) и \( 42 \) легко сравнить: \( 45 > 42 \). Следовательно, \( \sqrt{45} > \sqrt{42} \). Таким образом, исходное выражение \( 3\sqrt{5} \) больше, чем \( \sqrt{42} \).
Ответ: \( 3\sqrt{5} > \sqrt{42} \).
5) \( \sqrt{30} \) и \( 2\sqrt{7} \)
Здесь важно преобразовать второе выражение. Запишем: \( 2\sqrt{7} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28} \). Теперь у нас получаются два квадратных корня: \( \sqrt{30} \) и \( \sqrt{28} \). Сравним подкоренные выражения: \( 30 > 28 \). Так как функция квадратного корня сохраняет знак неравенства для положительных чисел, имеем \( \sqrt{30} > \sqrt{28} \). Следовательно, в исходном сравнении верно, что \( \sqrt{30} \) больше, чем \( 2\sqrt{7} \).
Ответ: \( \sqrt{30} > 2\sqrt{7} \).
6) \( \sqrt{\frac{1}{7}} \) и \( \frac{1}{2}\sqrt{20} \)
Начнем с первого выражения: \( \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \). Это число положительное, но меньше 1. Приблизительно оно равно \( 0.378 \). Теперь рассмотрим второе выражение: \( \frac{1}{2}\sqrt{20} = \frac{\sqrt{20}}{2} \). Так как \( \sqrt{20} \approx 4.472 \), получаем \( \frac{4.472}{2} = 2.236 \). Сравним значения: \( 0.378 < 2.236 \). Следовательно, \( \sqrt{\frac{1}{7}} \) меньше, чем \( \frac{1}{2}\sqrt{20} \).
Ответ: \( 7\sqrt{\frac{1}{7}} < \frac{1}{2}\sqrt{20} \).
