Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите область значений функции:
1) \(y=\sqrt[8]{x}+2\);
2) \(y=\sqrt[4]{x}-4\);
3) \(y=\sqrt[5]{x}-2\).
Найти область значений функции:
1) \(y = \sqrt[8]{x} + 2\);
\(\sqrt[8]{x} \geq 0\);
\(\sqrt[8]{x} + 2 \geq 2\);
Ответ: \(E(y) = [2; +\infty)\).
2) \(y = \sqrt[4]{x} — 4\);
\(\sqrt[4]{x} \geq 0\);
\(\sqrt[4]{x} — 4 \geq -4\);
Ответ: \(E(y) = [-4; +\infty)\).
3) \(y = \sqrt[5]{x} — 2\);
\(\sqrt[5]{x} \in \mathbb{R}\);
\(\sqrt[5]{x} — 2 \in \mathbb{R}\);
Ответ: \(E(y) = (-\infty; +\infty)\).
Найти область значений функции:
1) \(y = \sqrt[8]{x} + 2\);
Рассмотрим выражение \(\sqrt[8]{x}\). Поскольку восьмой корень — это чётная степень, выражение под корнем определено только при \(x \geq 0\). При этом \(\sqrt[8]{x}\) всегда принимает неотрицательные значения (минимум 0, максимум стремится к бесконечности при больших \(x\)).
Теперь найдём область значений \(y\):
\(y = \sqrt[8]{x} + 2\).
Минимальное значение \(\sqrt[8]{x}\) — это 0 (при \(x = 0\)), тогда \(y = 0 + 2 = 2\).
По мере увеличения \(x\), \(\sqrt[8]{x}\) также увеличивается, и \(y\) стремится к плюс бесконечности.
Значит, область значений — все числа, начиная с 2 и выше.
Ответ: \(E(y) = [2; +\infty)\).
2) \(y = \sqrt[4]{x} — 4\);
Здесь подкоренное выражение \(x\) должно быть неотрицательно, так как четвёртый корень определён только при \(x \geq 0\).
\(\sqrt[4]{x} \geq 0\). Теперь рассмотрим выражение \(y = \sqrt[4]{x} — 4\).
Минимальное значение корня — 0 (при \(x = 0\)), тогда \(y = 0 — 4 = -4\).
При увеличении \(x\) значение корня растёт, а значит, \(y\) увеличивается без ограничения.
Таким образом, область значений — от \(-4\) до плюс бесконечности, включая \(-4\).
Ответ: \(E(y) = [-4; +\infty)\).
3) \(y = \sqrt[5]{x} — 2\);
Корень нечётной степени определён для всех \(x\), то есть \(\sqrt[5]{x}\) может принимать любые действительные значения.
Значит, \(y = \sqrt[5]{x} — 2\) может быть любым числом, поскольку \(\sqrt[5]{x}\) «пробегает» всю числовую прямую, и при этом сдвигается на 2 вниз.
Итог: область значений функции — вся числовая прямая.
Ответ: \(E(y) = (-\infty; +\infty)\).
