Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.27 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \((x^{2}-4)^{4}\,\sqrt[4]{\,x+1\,}=0\);
2) \((x-1)^{10}\,\sqrt[10]{\,x^{2}-2x-3\,}=0\).
Решить уравнение:
1) \((x^2 — 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0;\)
Первое уравнение: \(x^2 — 4 = 0;\)
\(x^2 = 4;\)
\(x = \pm \sqrt{4} = \pm 2;\)
Выражение имеет смысл при: \(x + 1 \geq 0;\)
\(x \geq -1;\)
Ответ: \(-1; 2.\)
2) \((x — 1)\sqrt[10]{x^2 — 2x — 3} = 0;\)
Первое уравнение: \(x — 1 = 0;\)
\(x = 1;\)
Выражение имеет смысл при: \(x^2 — 2x — 3 \geq 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = -1\) и \(x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 3;\)
\((x + 1)(x — 3) \geq 0;\)
\(x \leq -1\) или \(x \geq 3;\)
Ответ: \(-1; 3.\)
Решить уравнение:
1) \((x^2 — 4)\,\sqrt[4]{\,x + 1\,} = 0;\)
Первое уравнение: \(x^2 — 4 = 0.\) Это уравнение можно решить, прибавив \(4\) к обеим частям:
\(x^2 = 4;\)
Теперь извлекаем корень из обеих сторон уравнения: \(x = \pm \sqrt{4} = \pm 2;\)
Следовательно, мы получаем два возможных значения для \(x\): \(x = 2\) и \(x = -2\).
Теперь рассмотрим условие, при котором выражение имеет смысл. Для этого нам нужно, чтобы под корнем было неотрицательное число. У нас есть выражение \(\sqrt{\,x + 1\,}\), и оно будет определено только в том случае, если \(x + 1 \ge 0\), то есть \(x \ge -1\).
Из этого следует, что допустимыми значениями \(x\) являются только те, которые удовлетворяют этому условию.
Теперь проверим наши корни. \(x = 2\) удовлетворяет условию, так как \(2 \ge -1\). Однако \(x = -2\) не подходит, так как \(-2 + 1 = -1\), что не выполняет условие \(x + 1 \ge 0\) (или \(x \ge -1\)).
Ответ: \(-1;\; 2.\)
2) \((x — 1)\,\sqrt[10]{\,x^2 — 2x — 3\,} = 0;\)
Первое уравнение: \(x — 1 = 0.\) Это уравнение простое, и его решение:
\(x = 1;\)
Следовательно, \(x = 1\) является решением первого уравнения.
Теперь рассмотрим выражение, содержащее квадратный корень: \(\sqrt{\,x^2 — 2x — 3\,}\). Мы знаем, что квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, то есть под корнем должно быть значение больше или равно нулю. Таким образом, мы получаем неравенство:
\(x^2 — 2x — 3 \ge 0;\)
Решим это неравенство. Для этого сначала решим соответствующее квадратное уравнение:
\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16;\)
Так как дискриминант положительный, то у нас два корня:
\(x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = -1;\quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 3;\)
Теперь решим неравенство \(x^2 — 2x — 3 \ge 0\). Для этого разбиваем его на два линейных множителя:
\((x + 1)(x — 3) \ge 0;\)
Это неравенство выполняется, когда \(x \le -1\) или \(x \ge 3\), то есть \(x\) должен быть либо меньше или равен \(-1\), либо больше или равен \(3\).
Теперь проверим, подходит ли \(x = 1\), которое мы получили из первого уравнения. Подставим \(x = 1\) в неравенство: \((1 + 1)(1 — 3) = 2 \cdot (-2) = -4\). Это отрицательное число, поэтому \(x = 1\) не подходит.
Таким образом, решение задачи: \(x \le -1\) или \(x \ge 3\). Мы получаем два возможных значения для \(x\), которые удовлетворяют условиям.
Ответ: \(-1;\; 3.\)
