ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.30 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Построить график функции:

1) \( y = x(\sqrt{x})^{4} = x \cdot x = x^{2} \);

Для данной функции выражение имеет смысл при: \( x \geq 0 \), так как мы работаем с квадратным корнем. Функция является квадратом переменной \( x \), поэтому её график будет параболой, направленной вверх.

Область определения функции: \( D(y) = [0; +\infty) \);

График функции:

2) \( y = (\sqrt{2 + x})^{8} + (\sqrt{2 — x})^{6} \);

Запишем уравнение: \( y = (2 + x) + (2 — x) = x + 1 — x + 1 + 1 = 4 \);

Выражение имеет смысл при: \( 2 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \); \( 2 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 \);

Область определения функции: \( D(y) = [-2; 2] \);

График функции:

Построить график функции:

1) \( y = x(\sqrt{x})^{4} = x \cdot x = x^{2} \);

Для этой функции начнём с преобразования выражения. Из исходного уравнения \( y = x(\sqrt{x})^{4} \) мы видим, что можно упростить его до выражения \( y = x \cdot x \), что эквивалентно \( x^{2} \). Это стандартная квадратичная функция, график которой представляет собой параболу, направленную вверх.

При этом выражение имеет смысл, если \( x \geq 0 \), так как в исходной формуле под корнем \( x \) должно быть неотрицательным. Следовательно, функция определена только для значений \( x \), которые равны или больше нуля.

Функция будет возрастать при \( x > 0 \), и убывать при \( x < 0 \). Парабола будет пересекать ось \( y \) в точке (0; 0), так как для \( x = 0 \), \( y \) также равно 0.

График функции будет начинаться в точке (0; 0) и растягиваться вверх по мере увеличения \( x \). С увеличением \( x \) значение \( y \) будет увеличиваться квадратично.

Область определения функции: \( D(y) = [0; +\infty) \);

График функции:

2) \( y = (\sqrt{2 + x})^{8} + (\sqrt{2 — x})^{6} \);

В данном случае начнём с того, что у нас есть два выражения, каждый из которых представляет собой квадратный корень с дополнительными степенями. Мы видим, что \( (\sqrt{2 + x})^{8} \) и \( (\sqrt{2 — x})^{6} \) имеют смысл, если под корнем выражения остаются неотрицательные числа. То есть \( x \) должен удовлетворять неравенствам: \( 2 + x \geq 0 \) и \( 2 — x \geq 0 \).

Рассмотрим первое неравенство: \( 2 + x \geq 0 \), что даёт \( x \geq -2 \);

Теперь рассмотрим второе неравенство: \( 2 — x \geq 0 \), что даёт \( x \leq 2 \);

Таким образом, функция определена в пределах интервала от -2 до 2. То есть область определения функции: \( D(y) = [-2; 2] \).

После этого рассмотрим само выражение. Когда мы подставляем значения \( x \) в выражения для \( (\sqrt{2 + x})^{8} \) и \( (\sqrt{2 — x})^{6} \), результат всегда равен 4. Это означает, что для всех значений \( x \) в пределах области определения функция будет принимать постоянное значение 4.

График этой функции будет горизонтальной прямой на уровне \( y = 4 \), которая будет проходить через все значения \( x \) от -2 до 2, и не будет изменяться на протяжении этого интервала.

График функции: