ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.31 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \sqrt{x — 1} \geq 2 \);

Исходное неравенство: \( x — 1 \geq 2^{6} \);

Решим его: \( x — 1 \geq 64 \);

Получаем: \( x \geq 65 \);

Выражение имеет смысл при: \( x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \);

Ответ: \( x \in (65; +\infty) \).

2) \( \sqrt{3x + 1} \leq 4 \);

Исходное неравенство: \( 3x + 1 < 4^{3} \);

Решим его: \( 3x + 1 \leq 64 \);

\( 3x \leq 63 \);

\( x \leq 21 \);

Ответ: \( x \in (-\infty; 21) \).

3) \( \sqrt{4x + 1} \leq 1 \);

Исходное неравенство: \( 4x + 1 \leq 1^{8} \);

\( 4x + 1 \leq 1 \);

\( 4x \leq 0 \);

Выражение имеет смысл при: \( 4x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -\frac{1}{4} \);

Ответ: \( x \in [-0.25; 0] \).

1) \(\sqrt[6]{\,x-1\,} > 2\)

Напомним правило: корень чётной степени \(n\) определён при неотрицательном подкоренном выражении
и строго возрастает на этой области. Значит, возведение обеих частей неравенства в степень \(n\)
(при \(n\) чётном) сохраняет знак неравенства.

Применяем правило:
\[
\sqrt[6]{\,x-1\,} > 2
\;\Longleftrightarrow\;
x-1 > 2^{6}.
\]
Так как \(2^{6}=64\), получаем
\[
x-1>64 \;\Longleftrightarrow\; x>65.
\]
Область определения корня: \(x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1\).
Она согласуется с найденным условием \(x>65\), поэтому дополнительных ограничений нет.

Проверка границ. При \(x=65\) имеем \(\sqrt[6]{64}=2\), а требуется «строго больше», значит
точка \(x=65\) не подходит. При \(x=66\): \(\sqrt[6]{65}>2\) — подходит.

Ответ: \(x\in(65,+\infty)\).

2) \(\sqrt[3]{\,3x+1\,} < 4\)

Кубический корень определён при всех действительных \(x\) и является возрастающей функцией на \(\mathbb{R}\).
Поэтому возведение обеих частей в третью степень равносильно исходному неравенству и не меняет его знак:
\[
\sqrt[3]{\,3x+1\,} < 4
\;\Longleftrightarrow\;
3x+1 < 4^{3}.
\]
Так как \(4^{3}=64\), имеем
\[
3x+1<64 \;\Longleftrightarrow\; 3x<63 \;\Longleftrightarrow\; x<21.
\]

Проверка границ. При \(x=21\) левая часть равна \(\sqrt[3]{64}=4\), что не строго меньше 4,
следовательно \(x=21\) исключается. Любое \(x=20{,}9\) даёт \(\sqrt[3]{3x+1}<4\).

Ответ: \(x\in(-\infty,21)\).

3) \(\sqrt[8]{\,4x+1\,} \le 1\)

Корень восьмой степени существует при \(4x+1\ge 0\) и монотонно возрастает на этой области.
Возводим обе части в восьмую степень:
\[
\sqrt[8]{\,4x+1\,} \le 1
\;\Longleftrightarrow\;
4x+1 \le 1^{8}=1.
\]
Отсюда
\[
4x\le 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le 0.
\]
Обязательно учитываем область определения:
\[
4x+1\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ge -\frac14.
\]
Пересечение условий даёт
\[
-\frac14 \le x \le 0.
\]

Проверка границ. При \(x=-\frac14\): \(\sqrt[8]{0}=0\le 1\) — подходит;
при \(x=0\): \(\sqrt[8]{1}=1\le 1\) — также подходит.

Ответ: \([-0.25;0]\).