Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.31 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \(\sqrt[6]{\,x-1\,} > 2\);
2) \(\sqrt[3]{\,3x+1\,} < 4\);
3) \(\sqrt[8]{\,4x+1\,} \le 1\).
1) \( \sqrt{x — 1} \geq 2 \);
Исходное неравенство: \( x — 1 \geq 2^{6} \);
Решим его: \( x — 1 \geq 64 \);
Получаем: \( x \geq 65 \);
Выражение имеет смысл при: \( x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \);
Ответ: \( x \in (65; +\infty) \).
2) \( \sqrt{3x + 1} \leq 4 \);
Исходное неравенство: \( 3x + 1 < 4^{3} \);
Решим его: \( 3x + 1 \leq 64 \);
\( 3x \leq 63 \);
\( x \leq 21 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; 21) \).
3) \( \sqrt{4x + 1} \leq 1 \);
Исходное неравенство: \( 4x + 1 \leq 1^{8} \);
\( 4x + 1 \leq 1 \);
\( 4x \leq 0 \);
Выражение имеет смысл при: \( 4x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -\frac{1}{4} \);
Ответ: \( x \in [-0.25; 0] \).
1) \(\sqrt[6]{\,x-1\,} > 2\)
Напомним правило: корень чётной степени \(n\) определён при неотрицательном подкоренном выражении
и строго возрастает на этой области. Значит, возведение обеих частей неравенства в степень \(n\)
(при \(n\) чётном) сохраняет знак неравенства.
Применяем правило:
\[
\sqrt[6]{\,x-1\,} > 2
\;\Longleftrightarrow\;
x-1 > 2^{6}.
\]
Так как \(2^{6}=64\), получаем
\[
x-1>64 \;\Longleftrightarrow\; x>65.
\]
Область определения корня: \(x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1\).
Она согласуется с найденным условием \(x>65\), поэтому дополнительных ограничений нет.
Проверка границ. При \(x=65\) имеем \(\sqrt[6]{64}=2\), а требуется «строго больше», значит
точка \(x=65\) не подходит. При \(x=66\): \(\sqrt[6]{65}>2\) — подходит.
Ответ: \(x\in(65,+\infty)\).
2) \(\sqrt[3]{\,3x+1\,} < 4\)
Кубический корень определён при всех действительных \(x\) и является возрастающей функцией на \(\mathbb{R}\).
Поэтому возведение обеих частей в третью степень равносильно исходному неравенству и не меняет его знак:
\[
\sqrt[3]{\,3x+1\,} < 4
\;\Longleftrightarrow\;
3x+1 < 4^{3}.
\]
Так как \(4^{3}=64\), имеем
\[
3x+1<64 \;\Longleftrightarrow\; 3x<63 \;\Longleftrightarrow\; x<21.
\]
Проверка границ. При \(x=21\) левая часть равна \(\sqrt[3]{64}=4\), что не строго меньше 4,
следовательно \(x=21\) исключается. Любое \(x=20{,}9\) даёт \(\sqrt[3]{3x+1}<4\).
Ответ: \(x\in(-\infty,21)\).
3) \(\sqrt[8]{\,4x+1\,} \le 1\)
Корень восьмой степени существует при \(4x+1\ge 0\) и монотонно возрастает на этой области.
Возводим обе части в восьмую степень:
\[
\sqrt[8]{\,4x+1\,} \le 1
\;\Longleftrightarrow\;
4x+1 \le 1^{8}=1.
\]
Отсюда
\[
4x\le 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le 0.
\]
Обязательно учитываем область определения:
\[
4x+1\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ge -\frac14.
\]
Пересечение условий даёт
\[
-\frac14 \le x \le 0.
\]
Проверка границ. При \(x=-\frac14\): \(\sqrt[8]{0}=0\le 1\) — подходит;
при \(x=0\): \(\sqrt[8]{1}=1\le 1\) — также подходит.
Ответ: \([-0.25;0]\).
