Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.32 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \(\sqrt[10]{\,x+2\,} > 1\);
2) \(\sqrt[5]{\,3x+2\,} < 2\);
3) \(\sqrt[4]{\,5x+1\,} < 3\).
Решить неравенство:
1) \( \sqrt{x+2} \ge 1 \);
\(x+2 \ge 1^2\);
\(x+2 \ge 1\);
\(x \ge -1\);
Выражение имеет смысл при:
\(x+2 \ge 0\);
\(x \ge -2\);
Ответ: \(x \in [-1; +\infty)\).
2) \( \sqrt[5]{3x+2} < 2;\)
\(3x+2<2^{5};\)
\(3x+2<32;\)
\(3x<30;\)
\(x<10;\)
Ответ: \(x\in(-\infty;\,10).\)
3) \( \sqrt[4]{5x+1} < 3;\)
\(5x+1<3^{4};\)
\(5x+1<81;\)
\(5x<80;\)
\(x<16;\)
Выражение имеет смысл при:
\(5x+1\ge 0;\)
\(5x\ge -1;\)
\(x\ge -0,2;\)
Ответ: \(x\in[-0,2;\,16).\)
Решить неравенство:
1) \( \sqrt{x+2} \ge 1 \);
Исходное неравенство: \( \sqrt{x+2} \ge 1 \). Вычтем 1 из обеих частей:
\( \sqrt{x+2} \ge 1 \;\;\Rightarrow\;\; x+2 \ge 1^2 \;\;\Rightarrow\;\; x+2 \ge 1 \;\;\Rightarrow\;\; x \ge -1 \).
Условие области определения: \( x+2 \ge 0 \;\;\Rightarrow\;\; x \ge -2 \).
Совместив условия, получаем: \( x \ge -1 \).
Ответ: \( x \in [-1; +\infty) \).
2) \( \sqrt[5]{3x+2} < 2;\)
\(3x+2<2^{5};\)
\(3x+2<32;\)
\(3x<30;\)
\(x<10;\)
Ответ: \(x\in(-\infty;\,10).\)
Пояснение. Корень нечётной степени определён для всех действительных чисел и
является возрастающей функцией. Поэтому неравенство
\(\sqrt[5]{3x+2}<2\) эквивалентно возведению обеих частей в пятую степень без смены знака:
\(\sqrt[5]{3x+2}<2 \Longleftrightarrow 3x+2<2^{5}=32\).
Далее линейное неравенство даёт \(x<10\).
Проверка границы. При \(x=10\): \(\sqrt[5]{32}=2\) — требуется строгое «\<», значит
точка \(10\) не входит. Любое \(x<10\) удовлетворяет.
3) \( \sqrt[4]{5x+1} < 3;\)
\(5x+1<3^{4};\)
\(5x+1<81;\)
\(5x<80;\)
\(x<16;\)
Выражение имеет смысл при:
\(5x+1\ge 0;\)
\(5x\ge -1;\)
\(x\ge -0,2;\)
Ответ: \(x\in[-0,2;\,16).\)
Пояснение. Корень чётной степени определён только при неотрицательном подкоренном выражении
и монотонно возрастает на своей области определения. Поэтому получаем систему:
\[
\begin{cases}
5x+1<3^{4}=81,\\
5x+1\ge 0
\end{cases}
\;\Longleftrightarrow\;
\begin{cases}
x<16,\\
x\ge -0{,}2
\end{cases}
\]
и берём пересечение интервалов.
Проверка границ. При \(x=-0{,}2\): \(\sqrt[4]{0}=0<3\) — левая граница включена.
При \(x=16\): \(\sqrt[4]{81}=3\), а требуется строгое «\<», поэтому правая граница исключается.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!