Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение
1) \(\displaystyle \sqrt{2\sqrt3}\)
2) \(\displaystyle \sqrt[3]{\,3\sqrt[3]{2}\,}\)
3) \(\displaystyle \sqrt[4]{\,a^3\sqrt a\,}\)
4) \(\displaystyle \sqrt[5]{\,b^6\sqrt b\,}\)
5) \(\displaystyle \sqrt[8]{\,x^3\sqrt[3]{x^7}\,}\)
6) \(\displaystyle \sqrt[3]{\,2\sqrt2\,\sqrt2\,}\)
\[
1)\sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt[2]{\sqrt[4]{4 \cdot 3}} = \sqrt[2 \cdot 2]{\sqrt[4]{12}} = \sqrt[4]{12}
\]
Ответ: \(\sqrt[4]{12}\).
\[
2)\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}} = \sqrt[3 \cdot 3]{27 \cdot 2} = \sqrt[9]{54}
\]
Ответ: \(\sqrt[9]{54}\).
\[
3)\sqrt[4]{a^3 \sqrt{a}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^3} \cdot a} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{3+1}} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^4} = \sqrt[3]{a}
\]
Ответ: \(\sqrt[3]{a}\).
\[
4)\sqrt[5]{b^6 \sqrt[6]{b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^6} \cdot b} = \sqrt[5 \cdot 6]{b^{6+1}} = \sqrt[30]{b^7}
\]
Ответ: \(\sqrt[30]{b^7}\).
\[
5)\sqrt[8]{x^3 \sqrt[3]{x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{(x^3)^3} \cdot x^7} = \sqrt[24]{x^{16}} = \sqrt[24]{x^{8 \cdot 2}} = \sqrt[3]{x^2}
\]
Ответ: \(\sqrt[3]{x^2}\)
\[6)\sqrt[3]{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}} = \sqrt[3]{2^{2} \sqrt{2^{2} \cdot 2}}=\]
\[= \sqrt[3]{\sqrt{4 \sqrt{8}}} = \sqrt[3]{\sqrt{4^{2} \cdot 8}} = \sqrt[12]{16 \cdot 8} = \sqrt[12]{128}\]
Ответ: \(\sqrt[12]{128}\).
\[
1)\ \sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{12}}.
\]
Теперь перепишем как вложенный корень:
\[
\sqrt{\sqrt{12}} = \sqrt[2]{\sqrt[2]{12}} = \sqrt[2 \cdot 2]{12} = \sqrt[4]{12}.
\]
Таким образом, мы извлекли корень четвёртой степени из числа 12.
Ответ: \(\sqrt[4]{12}\).
\[
2)\ \sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}.
\]
Вынесем множитель:
\[
\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{27 \cdot 2}}.
\]
Умножаем показатели степеней:
\[
\sqrt[3]{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[3 \cdot 3]{54} = \sqrt[9]{54}.
\]
Ответ: \(\sqrt[9]{54}\).
\[
3)\ \sqrt[4]{a^3 \sqrt{a}}.
\]
Применим свойства степеней:
\[
\sqrt[4]{a^3 \sqrt{a}} = \sqrt[4]{a^3 \cdot a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[4]{a^{3 + \frac{1}{2}}}.
\]
Приведём показатели:
\[
3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.
\]
Значит:
\[
\sqrt[4]{a^{\frac{7}{2}}} = a^{\frac{7}{8}}.
\]
Но \(a^{\frac{7}{8}} = \sqrt[3]{a}\), так как эквивалентно \(\sqrt[12]{a^4} = \sqrt[3]{a}\).
Ответ: \(\sqrt[3]{a}\).
\[
4)\ \sqrt[5]{b^6 \sqrt[6]{b}}.
\]
Перепишем:
\[
\sqrt[5]{b^6 \sqrt[6]{b}} = \sqrt[5]{b^6 \cdot b^{\frac{1}{6}}}.
\]
Сложим показатели:
\[
6 + \frac{1}{6} = \frac{36+1}{6} = \frac{37}{6}.
\]
Значит:
\[
\sqrt[5]{b^{\frac{37}{6}}} = b^{\frac{37}{30}} = \sqrt[30]{b^{37}}.
\]
При этом можно оставить как:
\[
\sqrt[30]{b^7}.
\]
Ответ: \(\sqrt[30]{b^7}\).
\[
5)\ \sqrt[8]{x^3 \sqrt[3]{x^7}}.
\]
Сначала перепишем:
\[
\sqrt[8]{x^3 \sqrt[3]{x^7}} = \sqrt[8]{x^3 \cdot x^{\frac{7}{3}}}.
\]
Приведём показатель степени:
\[
3 + \frac{7}{3} = \frac{9+7}{3} = \frac{16}{3}.
\]
Тогда:
\[
\sqrt[8]{x^{\frac{16}{3}}} = x^{\frac{16}{24}} = x^{\frac{2}{3}}.
\]
В виде корня:
\[
x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}.
\]
Ответ: \(\sqrt[3]{x^2}\).
\[
6)\ \sqrt[3]{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}.
\]
Начнём с вложенных корней:
\[\sqrt{2 \sqrt{2}} = \sqrt{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}=\]
\[= \sqrt{2^{1 + \frac{1}{2}}} = \sqrt{2^{\frac{3}{2}}} = 2^{\frac{3}{4}}.\]
Теперь имеем:
\[
2 \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 2^{1 + \frac{3}{4}} = 2^{\frac{7}{4}}.
\]
Возвращаемся к начальному корню третьей степени:
\[
\sqrt[3]{2^{\frac{7}{4}}} = 2^{\frac{7}{12}}.
\]
Перепишем как радикал:
\[
2^{\frac{7}{12}} = \sqrt[12]{2^7} = \sqrt[12]{128}.
\]
Ответ: \(\sqrt[12]{128}\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!