ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[4]{a^4} = a; \)

2) \( \sqrt[4]{a^4} = -a; \)

3) \( \sqrt[3]{a^3} = a; \)

4) \( \sqrt[3]{a^3} = -a; \)

5) \( \sqrt[4]{(a — 5)^3} = (\sqrt[4]{a — 5})^3; \)

6) \( \sqrt[3]{(a — 5)^4} = (\sqrt[3]{a — 5})^4? \)

При каких значениях \( a \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[4]{a^4} = a \Rightarrow |a| = a; \)

Равенство выполняется при:

\( a \geq 0; \)

Ответ: \( a \in [0; +\infty) \).

2) \( \sqrt[4]{a^4} = -a \Rightarrow |a| = -a; \)

Равенство выполняется при:

\( -a \geq 0; \)

\( a \leq 0; \)

Ответ: \( a \in (-\infty; 0] \).

3) \( \sqrt[3]{a^3} = a \Rightarrow a = a; \)

Равенство выполняется при:

\( a \in \mathbb{R}; \)

Ответ: \( a \in (-\infty; +\infty) \).

4) \( \sqrt[3]{a^3} = -a \Rightarrow a = -a; \)

Равенство выполняется при:

\( a \in \emptyset; \)

Ответ: \( a \in \emptyset \).

5) \( \sqrt[4]{(a — 5)^3} = \sqrt[3]{(a — 5)^4}; \)

Выражение имеет смысл при:

\( a — 5 \geq 0; \)

\( a \geq 5; \)

Ответ: \( a \in [5; +\infty) \).

6) \( \sqrt[3]{(a — 5)^4} = \sqrt[4]{(a — 5)^4}; \)

Выражение имеет смысл при:

\( a \in \mathbb{R}; \)

Ответ: \( a \in (-\infty; +\infty) \).

При каких значениях \( a \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[4]{a^4} = a \Rightarrow |a| = a; \)

• Здесь мы рассматриваем четвёртую степень числа \( a \), а затем извлекаем четвёртый корень.
• Поскольку \( \sqrt[4]{a^4} = |a| \), чтобы равенство выполнялось, \( a \) должно быть неотрицательным числом. Это связано с тем, что четвёртый корень из любого числа даёт положительное или нулевое значение, а \( a \) в правой части уравнения должно быть равно \( |a| \), что возможно только при \( a \geq 0 \).
• Ответ: \( a \in [0; +\infty) \).

2) \( \sqrt[4]{a^4} = -a \Rightarrow |a| = -a; \)

• В этом случае мы рассматриваем равенство, где четвёртый корень из \( a^4 \) равен отрицательному значению \( -a \).
• Так как \( |a| \) всегда неотрицательное, это равенство возможно только в случае, если \( a \) является отрицательным числом. Чтобы \( |a| = -a \), необходимо, чтобы \( a \) было меньше или равно нулю.
• Ответ: \( a \in (-\infty; 0] \).

3) \( \sqrt[3]{a^3} = a \Rightarrow a = a; \)

• В данном случае выражение для кубического корня выполняется всегда, так как для любого значения \( a \), кубический корень из \( a^3 \) всегда равен самому числу \( a \).
• Это уравнение выполняется при любом значении \( a \), так как кубический корень из \( a^3 \) всегда даёт \( a \), независимо от знака числа.
• Ответ: \( a \in \mathbb{R} \), то есть \( a \) может быть любым числом.

4) \( \sqrt[3]{a^3} = -a \Rightarrow a = -a; \)

• Здесь у нас кубический корень из \( a^3 \), равный \( -a \).
• Однако такое равенство невозможно, так как кубический корень из \( a^3 \) всегда даёт результат, равный самому числу \( a \). Следовательно, равенство \( a = -a \) выполняется только при \( a = 0 \), но это не приводит к решению, так как кубический корень из \( a^3 \) не может быть равен его отрицательному значению.
• Ответ: \( a \in \emptyset \), то есть решений нет.

5) \( \sqrt[4]{(a — 5)^3} = \sqrt[3]{(a — 5)^4}; \)

• Для этого выражения рассмотрим выражения под корнями.
• Так как мы имеем четвёртый корень из куба и кубический корень из четвёртой степени, чтобы выражение имело смысл, значения под корнями должны быть неотрицательными. Это накладывает ограничение на \( a \), так как \( a — 5 \geq 0 \), то есть \( a \geq 5 \).
• Ответ: \( a \in [5; +\infty) \).

6) \( \sqrt[3]{(a — 5)^4} = \sqrt[4]{(a — 5)^4}; \)

• Здесь выражение под корнем имеет четвёртую и кубическую степень. Для выражения \( \sqrt[3]{(a — 5)^4} \) и \( \sqrt[4]{(a — 5)^4} \), чтобы они имели смысл, достаточно, чтобы \( a — 5 \) было любым числом, так как степени четвёрки и куба при извлечении корня всегда дают результат.
• Таким образом, выражение будет иметь смысл для всех значений \( a \), поскольку корни любых степеней из \( (a — 5)^4 \) всегда имеют смысл для всех значений \( a \).
• Ответ: \( a \in (-\infty; +\infty) \).