ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[6]{a^{30}} = a^5 \);

2) \( \sqrt[6]{a^{30}} = -a^5 \);

3) \( \sqrt[4]{a^4} = \left( \sqrt[4]{a} \right)^4 \);

4) \( \sqrt[4]{a^4} = \left( \sqrt[4]{-a} \right)^4 \);

При каких значениях \( a \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[6]{a^{30}} = a^5; \)

\( \sqrt[6]{a^{6 \cdot 5}} = a^5; \)

\( |a|^5 = a^5; \)

\( |a| = a; \)

\( a \geq 0; \)

Ответ: \( a \in [0; +\infty) \).

2) \( \sqrt[6]{a^{30}} = -a^5; \)

\( \sqrt[6]{a^{6 \cdot 5}} = -a^5; \)

\( |a|^5 = -a^5; \)

\( |a| = -a; \)

\( a \geq 0; \)

\( a \leq 0; \)

Ответ: \( a \in (-\infty; 0] \).

3) \( \sqrt[4]{a^4} = \sqrt{a}^4; \)

Выражение имеет смысл при:

\( a \geq 0; \)

Ответ: \( a \in [0; +\infty) \).

4) \( \sqrt[4]{a^4} = \sqrt{(-a)}^4; \)

Выражение имеет смысл при:

\( a \geq 0; \)

\( a \leq 0; \)

Ответ: \( a \in (-\infty; 0] \).

При каких значениях \( a \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[6]{a^{30}} = a^5; \)

• Мы начинаем с выражения \( \sqrt[6]{a^{30}} \), что можно записать как \( a^{30/6} = a^5 \).
• Слева мы извлекаем шестой корень из \( a^{30} \), что даёт нам \( a^5 \), и видим, что это равенство выполняется, когда \( a \) является неотрицательным числом.
• Также учитываем, что \( |a|^5 = a^5 \), что означает, что для выполнения равенства значение \( a \) должно быть больше или равно нулю.
• Ответ: \( a \in [0; +\infty) \).

2) \( \sqrt[6]{a^{30}} = -a^5; \)

• Здесь мы снова работаем с выражением \( \sqrt[6]{a^{30}} = a^5 \), но теперь рассматриваем его равным отрицательному числу \( -a^5 \).
• Для этого случая, чтобы равенство выполнялось, \( |a| \) должно быть равно \( -a \), что возможно только в том случае, если \( a \) является отрицательным числом. Поскольку \( a \geq 0 \) по определению шестого корня, то мы получаем, что \( a \leq 0 \).
• Ответ: \( a \in (-\infty; 0] \).

3) \( \sqrt[4]{a^4} = \sqrt{a}^4; \)

• В этом выражении мы имеем четвёртый корень из \( a^4 \), который равен \( a \), так как четвёртый корень из \( a^4 \) всегда даёт \( |a| \).
• Правая часть уравнения \( \sqrt{a}^4 \) также упрощается до \( a^4 \), и это выражение имеет смысл только для неотрицательных значений \( a \), так как корни четвёртого порядка и степени требуют, чтобы \( a \geq 0 \).
• Ответ: \( a \in [0; +\infty) \).

4) \( \sqrt[4]{a^4} = \sqrt{(-a)}^4; \)

• Здесь мы имеем четвёртый корень из \( a^4 \), равный \( a \), и четвёртый корень из \( (-a)^4 \), который равен \( (-a)^4 \), что не имеет смысла, если \( a \) меньше нуля.
• Таким образом, выражение имеет смысл только при условии, что \( a \geq 0 \), так как \( (-a)^4 \) даёт корректный результат только для значений \( a \leq 0 \), иначе это выражение не определено.
• Ответ: \( a \in (-\infty; 0] \).