ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) и \( b \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}; \)

2) \( \sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}; \)

3) \( \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}; \)

4) \( \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}? \)

При каких значениях \( a \) и \( b \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}; \)

\( \sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{(-a)} \cdot \sqrt[4]{(-b)}; \)

\( \sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{ab}; \)

Выражение имеет смысл при:

• \( -a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0 \);
• \( -b \geq 0 \Rightarrow b \leq 0 \);

Ответ: \( a, b \in (-\infty; 0] \).

2) \( \sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}; \)

\( \sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a \cdot (-b)}; \)

\( \sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{-ab}; \)

Выражение имеет смысл при:

• \( a \geq 0 \);
• \( -b \geq 0 \Rightarrow b \leq 0 \);

Ответ: \( a \in [0; +\infty), b \in (-\infty; 0] \).

3) \( \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}; \)

\( \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a \cdot b}; \)

Выражение имеет смысл при:

• \( a \in \mathbb{R}, \, b \in \mathbb{R}; \)

Ответ: \( a, b \in (-\infty; +\infty). \)

4) \( \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}; \)

\( \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a \cdot (-b)}; \)

Выражение имеет смысл при:

• \( a \in \mathbb{R}, \, b \in \mathbb{R}; \)

Ответ: \( a, b \in (-\infty; +\infty). \)

При каких значениях \( a \) и \( b \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}; \)

\( \sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{(-a)} \cdot \sqrt[4]{(-b)}; \)

\( \sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{ab}; \)

Выражение имеет смысл при следующих условиях:

• Для того чтобы корень был определен, необходимо, чтобы подкоренные выражения \( a \) и \( b \) были неотрицательными числами, так как извлечение корня из отрицательных чисел в данном контексте невозможно.
• \( -a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0 \); так как под корнем должно быть отрицательное значение, \( a \) должно быть меньше или равно нулю.
• \( -b \geq 0 \Rightarrow b \leq 0 \); аналогично, для \( b \) тоже требуется, чтобы оно было меньше или равно нулю.

Ответ: \( a, b \in (-\infty; 0] \).

2) \( \sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}; \)

\( \sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a \cdot (-b)}; \)

\( \sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{-ab}; \)

Выражение имеет смысл при следующих условиях:

• Здесь мы извлекаем корень из произведения \( ab \), но знак в выражении меняется из-за минусового значения \( b \).
• Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы \( a \) было больше или равно нулю, так как извлечение корня из отрицательного числа невозможно в действительных числах.
• Также \( -b \geq 0 \Rightarrow b \leq 0 \); это означает, что \( b \) должно быть меньше или равно нулю, чтобы корень из отрицательного числа имел смысл.

Ответ: \( a \in [0; +\infty), b \in (-\infty; 0] \).

3) \( \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}; \)

\( \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a \cdot b}; \)

Для извлечения пятого корня из произведения \( ab \) условие остается более простым, так как пятый корень может быть извлечен как для положительных, так и для отрицательных чисел.

Выражение имеет смысл при следующих условиях:

• Так как мы извлекаем пятый корень, а пятый корень из отрицательного числа существует в области действительных чисел, то здесь нет ограничений на знак чисел \( a \) и \( b \).
• Таким образом, \( a \) и \( b \) могут быть любыми действительными числами.

Ответ: \( a, b \in (-\infty; +\infty). \)

4) \( \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}; \)

\( \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a \cdot (-b)}; \)

Подобно предыдущему выражению, здесь мы извлекаем пятый корень, и нет ограничений на знак чисел, так как пятый корень можно извлечь как из положительного, так и из отрицательного числа.

Выражение имеет смысл при:

• Здесь также можно извлекать пятый корень как из положительных, так и из отрицательных чисел, следовательно, \( a \) и \( b \) могут быть любыми действительными числами.

Ответ: \( a, b \in (-\infty; +\infty). \)