ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \( x \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[4]{x^2 — 4} = \sqrt[4]{x — 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2}; \)

2) \( \sqrt[8]{(x — 3)(7 — x)} = \sqrt[8]{x — 3} \cdot \sqrt[8]{7 — x}; \)

3) \( \sqrt[3]{(x — 6)(x — 10)} = \sqrt[3]{x — 6} \cdot \sqrt[3]{x — 10}? \)

При каких значениях \( x \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[4]{x^2 — 4} = \sqrt{x — 2} \cdot \sqrt{x + 2}; \)

\( \sqrt[4]{x^2 — 4} = \sqrt{x — 2} \cdot \sqrt{x + 2}; \)

\( \sqrt[4]{x^2 — 4} = \sqrt{x^2 — 4}; \)

Выражение имеет смысл при:

\( x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2; \)

\( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2; \)

Ответ: \( x \in [2; +\infty) \).

2) \( \sqrt[8]{(x — 3)(7 — x)} = \sqrt[3]{(x — 3)} \cdot \sqrt[7]{7 — x}; \)

\( \sqrt[8]{(x — 3)(7 — x)} = \sqrt[8]{(x — 3)(7 — x)}; \)

Выражение имеет смысл при:

\( x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3; \)

\( 7 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 7; \)

Ответ: \( x \in [3; 7] \).

3) \( \sqrt[3]{(x — 6)(x — 10)} = \sqrt[3]{(x — 6)} \cdot \sqrt[3]{(x — 10)}; \)

\( \sqrt[3]{(x — 6)(x — 10)} = \sqrt[3]{(x — 6)} \cdot \sqrt[3]{(x — 10)}; \)

Выражение имеет смысл при:

\( x \in \mathbb{R}; \)

Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

При каких значениях \( x \) выполняется равенство:

1) \( \sqrt[4]{x^2 — 4} = \sqrt{x — 2} \cdot \sqrt{x + 2}; \)

• В данном выражении мы рассматриваем четвёртый корень из \( x^2 — 4 \), который можно представить как разницу квадратов \( (x — 2)(x + 2) \).
• Четвёртый корень из выражения \( x^2 — 4 \) можно записать как \( \sqrt[4]{(x — 2)(x + 2)} \), а правую часть уравнения можно выразить как произведение двух квадратных корней — \( \sqrt{x — 2} \cdot \sqrt{x + 2} \).
• Для того чтобы оба корня имели смысл, выражение под корнем должно быть неотрицательным, а значит \( x — 2 \geq 0 \) и \( x + 2 \geq 0 \).
• Равенство выполняется при \( x \geq 2 \), так как это условие гарантирует существование действительных значений для выражений под корнями.
• Ответ: \( x \in [2; +\infty) \).

2) \( \sqrt[8]{(x — 3)(7 — x)} = \sqrt[3]{(x — 3)} \cdot \sqrt[7]{7 — x}; \)

• Здесь у нас восьмой корень из произведения двух выражений \( (x — 3)(7 — x) \) и правую часть, состоящую из произведения корней с разными индексами.
• Для того чтобы обе стороны уравнения имели смысл, нам нужно, чтобы выражения под корнями были неотрицательными.
• Для \( \sqrt[8]{(x — 3)(7 — x)} \) и \( \sqrt[3]{(x — 3)} \), \( x — 3 \) должно быть неотрицательным, то есть \( x \geq 3 \).
• Для выражения \( \sqrt[7]{7 — x} \), \( 7 — x \) должно быть неотрицательным, то есть \( x \leq 7 \).
• Таким образом, выражение будет иметь смысл, когда \( x \) будет лежать в промежутке от 3 до 7 включительно.
• Ответ: \( x \in [3; 7] \).

3) \( \sqrt[3]{(x — 6)(x — 10)} = \sqrt[3]{(x — 6)} \cdot \sqrt[3]{(x — 10)}; \)

• Здесь у нас кубический корень из произведения \( (x — 6)(x — 10) \) и правую часть уравнения, которая представляет собой произведение двух кубических корней.
• Кубические корни могут быть извлечены из любых действительных чисел, включая отрицательные, поэтому нет необходимости накладывать ограничения на значения \( x — 6 \) и \( x — 10 \).
• Равенство будет выполнено для любых значений \( x \), так как кубические корни существуют для всех действительных чисел.
• Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \), то есть выражение имеет смысл для всех \( x \) из множества действительных чисел.