ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.25 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:
1) (m^6)^(1/6), если m?0;
2) (n^4)^(1/4), если n?0;
3) (256k^8)^(1/8) если k?0;
4) (c^24)^(1/6);
5) v(0,25b^14), если b?0;
6) (81x^8 y^4)^(1/4), если y?0;
7) v(0,01a^6 b^10), если a?0, b?0;
8) -1,2x(64x^30)^(1/6), если x?0.

Упростить выражение:

1) \( \sqrt[6]{m^6}, \text{если } m \geq 0; \)

\( \sqrt[6]{m^6} = |m| = m; \)

Ответ: \( m \).

2) \( \sqrt[4]{n^4}, \text{если } n \leq 0; \)

\( \sqrt[4]{n^4} = |n| = -n; \)

Ответ: \( -n \).

3) \( \sqrt[8]{256k^8}, \text{если } k \leq 0; \)

\( \sqrt[8]{256k^8} = \sqrt[8]{2^8 \cdot k^8} = 2 \cdot |k| = 2 \cdot (-k) = -2k; \)

Ответ: \( -2k \).

4) \( \sqrt[6]{c^24} = |c^4| = c^4; \)

Ответ: \( c^4 \).

5) \( \sqrt{0,25b^{14}}, \text{если } b \leq 0; \)

\( \sqrt{0,25b^{14}} = \frac{25}{100} \cdot b^{14} = \sqrt{52} \cdot (b^7)^2 = 5 \cdot |b^7| = 0,5(-b^7) = -0,5b^7; \)

Ответ: \( -0,5b^7 \).

6) \( \sqrt[4]{81x^8y^4}, \text{если } y \geq 0; \)

\( \sqrt[4]{81x^8y^4} = \sqrt[4]{34} \cdot (x^2)^4 = 3 \cdot |x^2| \cdot |y| = 3x^2y; \)

Ответ: \( 3x^2y \).

7) \( \sqrt{0,01a^6b^{10}}, \text{если } a \leq 0, b \geq 0; \)

\( \sqrt{0,01a^6b^{10}} = \frac{1}{100} \cdot a^6b^{10} = \frac{1}{102} \cdot (a^3)^2 \cdot (b^5)^2 = \frac{1}{10} \cdot |a^3| \cdot |b^5| \)

\( = 0,1(-a^3) \cdot b^5 = -0,1a^3b^5; \)

Ответ: \( -0,1a^3b^5 \).

8) \( \sqrt[3]{-12x^6 \cdot 64x^{30}}, \text{если } x \leq 0; \)

\( -1,2 \cdot \sqrt[3]{26} \cdot (-x^6) = -1,2x \cdot 2 \cdot |x^5| = -2,4x \cdot x^5 = 2,4x^6; \)

Ответ: \( 2,4x^6 \).

Упростить выражение:

1) \( \sqrt[6]{m^6}, \text{если } m \geq 0; \)

• Здесь мы имеем шестой корень из \( m^6 \), который можно упростить, извлекая шестой корень из \( m^6 \). Поскольку \( m^6 \) — это число, которое возведено в степень, шестой корень из \( m^6 \) всегда равен \( |m| \), так как корень всегда даёт неотрицательное значение.
• Так как \( m \geq 0 \), то \( |m| = m \).
• Ответ: \( m \).

2) \( \sqrt[4]{n^4}, \text{если } n \leq 0; \)

• Здесь у нас четвёртый корень из \( n^4 \), который можно упростить, записав как \( |n| \). Однако, так как \( n \) меньше или равно нулю, то результат будет равен \( -n \), так как \( |n| = -n \) при \( n \leq 0 \).
• Ответ: \( -n \).

3) \( \sqrt[8]{256k^8}, \text{если } k \leq 0; \)

• Здесь мы извлекаем восьмой корень из \( 256k^8 \). Мы можем упростить это выражение, заметив, что \( 256 = 2^8 \), поэтому \( \sqrt[8]{256k^8} = \sqrt[8]{2^8 \cdot k^8} = 2 \cdot |k| \). Поскольку \( k \leq 0 \), то \( |k| = -k \), и мы получаем \( -2k \).
• Ответ: \( -2k \).

4) \( \sqrt[6]{c^24} = |c^4| = c^4; \)

• Здесь мы имеем шестой корень из \( c^{24} \). Поскольку \( c^{24} = (c^4)^6 \), извлекая шестой корень из \( c^{24} \), мы получаем \( c^4 \), так как \( c^4 \) всегда неотрицательно. Это означает, что \( |c^4| = c^4 \).
• Ответ: \( c^4 \).

5) \( \sqrt{0,25b^{14}}, \text{если } b \leq 0; \)

• Здесь у нас выражение \( \sqrt{0,25b^{14}} \), которое можно упростить, сначала выделив \( 0,25 = \frac{25}{100} \), а затем вычислив корень из \( b^{14} \). Мы также заметим, что \( b^{14} \) может быть записано как \( (b^7)^2 \), и это даст нам \( \sqrt{52} \cdot (b^7)^2 = 5 \cdot |b^7| \). При условии \( b \leq 0 \), получаем \( |b^7| = -b^7 \), так как знак меняется для отрицательных чисел.
• Ответ: \( -0,5b^7 \).

6) \( \sqrt[4]{81x^8y^4}, \text{если } y \geq 0; \)

• Здесь мы имеем четвёртый корень из произведения \( 81x^8y^4 \). Для упрощения мы можем выделить \( 81 = 3^4 \), и затем извлечь корень из \( (x^2)^4 \) и \( (y^4)^4 \), что даёт \( 3 \cdot |x^2| \cdot |y| = 3x^2y \). Так как \( y \geq 0 \), то \( |y| = y \).
• Ответ: \( 3x^2y \).

7) \( \sqrt{0,01a^6b^{10}}, \text{если } a \leq 0, b \geq 0; \)

• В этом выражении мы начинаем с упрощения \( \sqrt{0,01a^6b^{10}} = \frac{1}{100} \cdot a^6b^{10} \), что можно разложить на квадратные корни и извлечь из каждого по отдельности. Получаем \( \frac{1}{10} \cdot |a^3| \cdot |b^5| \), где для \( a \leq 0 \) и \( b \geq 0 \) получаем \( -a^3 \) и \( b^5 \), соответственно.
• Ответ: \( -0,1a^3b^5 \).

8) \( \sqrt[3]{-12x^6 \cdot 64x^{30}}, \text{если } x \leq 0; \)

• Здесь мы извлекаем кубический корень из выражения \( -12x^6 \cdot 64x^{30} \). Мы начинаем с упрощения \( \sqrt[3]{-12x^6 \cdot 64x^{30}} = -1,2 \cdot \sqrt[3]{26} \cdot (-x^6) \), и это даёт нам \( -2,4x^6 \), так как кубический корень позволяет работать как с отрицательными, так и с положительными числами.
• Ответ: \( 2,4x^6 \).