ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.29 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сократите дробь:
1) (va-vb)/(a^(1/4)+b^(1/4));
2) (x^(1/6)-9)/(x^(1/12)+3);
3) (vm+m^(1/4))/(m-(m^3)^(1/4));
4) ((ab^2)^(1/8)-(a^2 b)^(1/8))/(a^(1/4)-b^(1/4));
5) (a(b^2)^(1/3)-b(a^2)^(1/3))/(a^2 b^2)^(1/3);
6) ((x^2)^(1/3)+4(x^(1/3))+16)/(x-64);
7) (va+vb)/(a^(1/3)-(ab)^(1/6)+b^(1/3));
8) (2-2^(1/3))/2^(1/3);
9) ((a^3)^(1/4)-a^(1/4)+va-1)/(a-va).

Сократить дробь:

1. \[
   \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \frac{\left(\sqrt[4]{a}\right)^2 — \left(\sqrt[4]{b}\right)^2}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \frac{\left(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}\right)\left(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\right)}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b};
   \]
   
   Ответ: \(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}\).
2. \[
   \frac{\sqrt[6]{x} — 9}{\sqrt[12]{x} + 3} = \frac{\left(\sqrt[12]{x}\right)^2 — 3^2}{\sqrt[12]{x} + 3} = \frac{\left(\sqrt[12]{x} — 3\right)\left(\sqrt[12]{x} + 3\right)}{\sqrt[12]{x} + 3} = \sqrt[12]{x} — 3;
   \]
   
   Ответ: \(\sqrt[12]{x} — 3\).
3. \[
   \frac{\sqrt{m} + \sqrt[4]{m}}{m — \sqrt[4]{m^3}} = \frac{\left(\sqrt[4]{m}\right)^2 + \sqrt[4]{m}}{\left(\sqrt[4]{m}\right)^4 — \left(\sqrt[4]{m}\right)^3} = \frac{\sqrt[4]{m} + 1}{\left(\sqrt[4]{m}\right)^3 — \left(\sqrt[4]{m}\right)^2} = \frac{\sqrt[4]{m} + 1}{\sqrt[4]{m^3} — \sqrt[4]{m}};
   \]
   
   Ответ: \(\frac{\sqrt[4]{m} + 1}{\sqrt[4]{m^3} — \sqrt[4]{m}}\).
4. \[
   \frac{\sqrt[8]{ab^2} — \sqrt[8]{a^2 b}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} = \frac{\sqrt[8]{ab} \cdot \left(\sqrt[8]{b} — \sqrt[8]{a}\right)}{\left(\sqrt[8]{a}\right)^2 — \left(\sqrt[8]{b}\right)^2} = \frac{-\sqrt[8]{ab} \cdot \left(\sqrt[8]{a} — \sqrt[8]{b}\right)}{\left(\sqrt[8]{a} — \sqrt[8]{b}\right)\left(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}\right)} = -\frac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}};
   \]
   
   Ответ: \(-\frac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}\).
5. \[
   \frac{a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{a^2 b^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^3 b^2} — \sqrt[3]{b^3 a^2}}{\sqrt[3]{a^2 b^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2 b^2} \cdot \left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right)}{\sqrt[3]{a^2 b^2}} = \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b};
   \]
   
   Ответ: \(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\).
6. \[
   \frac{\sqrt[3]{x^2} + 4 \sqrt[4]{x} + 16}{x — 64} = \frac{\left(\sqrt[3]{x^2} + 4 \sqrt[4]{x} + 4^2\right)\left(\sqrt[3]{x} — 4\right)}{(x — 64)\left(\sqrt[3]{x} — 4\right)} = \frac{\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 — 4^3}{(x — 64)\left(\sqrt[3]{x} — 4\right)} = \frac{x — 64}{(x — 64)\left(\sqrt[3]{x} — 4\right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x} — 4};
   \]
   
   Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[3]{x} — 4}\).
7. \[
   \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}} = \frac{\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\right)} = \frac{\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\right)}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^3 — \left(\sqrt[6]{ab}\right) + \left(\sqrt[6]{b}\right)^3} = \frac{\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)\left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\right)}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^3 + \left(\sqrt[6]{b}\right)^3} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b};
   \]
   
   Ответ: \(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\).
8. \[
   \frac{2 — \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{23} — \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{23}{2}} — \sqrt[3]{\frac{2}{2}} = \sqrt[3]{4} — 1;
   \]
   
   Ответ: \(\sqrt[3]{4} — 1\).
9. \[
   \frac{\sqrt[4]{a^3} — \sqrt[4]{a} + \sqrt{a} — 1}{a — \sqrt{a}} = \frac{\sqrt[4]{a} \cdot \left(\sqrt[4]{a^2} — 1\right) + \left(\sqrt{a} — 1\right)}{\left(\sqrt{a}\right)^2 — \sqrt{a}} = \frac{\sqrt[4]{a} \left(\sqrt[4]{a^2} — 1\right) + \left(\sqrt{a} — 1\right)}{\sqrt{a} \left(\sqrt{a} — 1\right)} = \frac{\left(\sqrt[4]{a} + 1\right)\left(\sqrt{a} — 1\right)}{\sqrt{a} \left(\sqrt{a} — 1\right)} = \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}};
   \]
   
   Ответ: \(\frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}\).

Подробное решение с объяснениями для каждого примера:

1. Задача:

   \[
   \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}
   \]

   Решение:

   Сначала перепишем числитель через степени корней четвертой степени:
   \[
   \sqrt{a} = \left(\sqrt[4]{a}\right)^2, \quad \sqrt{b} = \left(\sqrt[4]{b}\right)^2.
   \]
   Тогда дробь принимает вид:
   \[
   \frac{\left(\sqrt[4]{a}\right)^2 — \left(\sqrt[4]{b}\right)^2}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}.
   \]

   Это разность квадратов, которую можно разложить:
   \[
   \frac{\left(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}\right)\left(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\right)}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}.
   \]

   Сокращаем на общий множитель в числителе и знаменателе:
   \[
   \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}.
   \]

   Ответ: \(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}\).

2. Задача:

   \[
   \frac{\sqrt[6]{x} — 9}{\sqrt[12]{x} + 3}
   \]

   Решение:

   Обозначим \(y = \sqrt[12]{x}\), тогда:
   \[
   \sqrt[6]{x} = y^2,
   \]
   и выражение перепишется как:
   \[
   \frac{y^2 — 3^2}{y + 3}.
   \]

   Это разность квадратов, разложим на множители:
   \[
   \frac{(y — 3)(y + 3)}{y + 3}.
   \]

   Сократим на \(y + 3\):
   \[
   y — 3 = \sqrt[12]{x} — 3.
   \]

   Ответ: \(\sqrt[12]{x} — 3\).

3. Задача:

   \[
   \frac{\sqrt{m} + \sqrt[4]{m}}{m — \sqrt[4]{m^3}}
   \]

   Решение:

   Перепишем корни через степени четвертой степени:
   \[
   \sqrt{m} = \left(\sqrt[4]{m}\right)^2, \quad m = \left(\sqrt[4]{m}\right)^4, \quad \sqrt[4]{m^3} = \left(\sqrt[4]{m}\right)^3.
   \]

   Тогда дробь становится:
   \[
   \frac{\left(\sqrt[4]{m}\right)^2 + \sqrt[4]{m}}{\left(\sqrt[4]{m}\right)^4 — \left(\sqrt[4]{m}\right)^3} = \frac{\sqrt[4]{m}^2 + \sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{m}^4 — \sqrt[4]{m}^3}.
   \]

   Вынесем \(\sqrt[4]{m}\) в числителе и знаменателе:
   \[
   \frac{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m} + 1)}{\sqrt[4]{m}^3(\sqrt[4]{m} — 1)} = \frac{\sqrt[4]{m} + 1}{\sqrt[4]{m}^3 — \sqrt[4]{m}^2} = \frac{\sqrt[4]{m} + 1}{\sqrt[4]{m^3} — \sqrt[4]{m}}.
   \]

   Ответ: \(\frac{\sqrt[4]{m} + 1}{\sqrt[4]{m^3} — \sqrt[4]{m}}\).

4. Задача:

   \[
   \frac{\sqrt[8]{ab^2} — \sqrt[8]{a^2 b}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}}
   \]

   Решение:

   Перепишем числитель, вынеся общий множитель:
   \[
   \sqrt[8]{ab^2} = \sqrt[8]{ab} \cdot \sqrt[8]{b}, \quad \sqrt[8]{a^2 b} = \sqrt[8]{ab} \cdot \sqrt[8]{a}.
   \]

   Тогда числитель:
   \[
   \sqrt[8]{ab^2} — \sqrt[8]{a^2 b} = \sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} — \sqrt[8]{a}) = -\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} — \sqrt[8]{b}).
   \]

   Знаменатель можно представить как разность квадратов:
   \[
   \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b} = \left(\sqrt[8]{a}\right)^2 — \left(\sqrt[8]{b}\right)^2 = (\sqrt[8]{a} — \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}).
   \]

   Подставим в дробь:
   \[
   \frac{-\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} — \sqrt[8]{b})}{(\sqrt[8]{a} — \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})}.
   \]

   Сократим на \(\sqrt[8]{a} — \sqrt[8]{b}\):
   \[
   -\frac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}.
   \]

   Ответ: \(-\frac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}\).

5. Задача:

   \[
   \frac{a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{a^2 b^2}}
   \]

   Решение:

   Перепишем числитель в виде корней кубических степеней:
   \[
   a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} = \sqrt[3]{a^3 b^2}, \quad b^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}} = \sqrt[3]{b^3 a^2}.
   \]

   Тогда дробь:
   \[
   \frac{\sqrt[3]{a^3 b^2} — \sqrt[3]{b^3 a^2}}{\sqrt[3]{a^2 b^2}}.
   \]

   Вынесем общий множитель:
   \[
   = \frac{\sqrt[3]{a^2 b^2} \cdot (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a^2 b^2}} = \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}.
   \]

   Ответ: \(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\).

6. Задача:

   \[
   \frac{\sqrt[3]{x^2} + 4 \sqrt[4]{x} + 16}{x — 64}
   \]

   Решение:

   Обозначим:
   \[
   y = \sqrt[3]{x}, \quad \text{тогда } y^3 = x.
   \]

   Числитель можно представить как:
   \[
   y^2 + 4 y^{\frac{1}{3}} + 16,
   \]
   но более удобно рассмотреть разложение в виде произведения:
   \[
   (\sqrt[3]{x^2} + 4 \sqrt[4]{x} + 4^2)(\sqrt[3]{x} — 4).
   \]

   Знаменатель:
   \[
   x — 64 = y^3 — 4^3.
   \]

   Используем формулу разности кубов:
   \[
   y^3 — 4^3 = (y — 4)(y^2 + 4 y + 16).
   \]

   Тогда дробь:
   \[
   \frac{(y^2 + 4 y + 16)(y — 4)}{(y — 4)(y^2 + 4 y + 16)} = 1.
   \]

   Но в условии дробь записана иначе, поэтому подробный расчет дает:
   \[
   \frac{x — 64}{(x — 64)(\sqrt[3]{x} — 4)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x} — 4}.
   \]

   Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[3]{x} — 4}\).

7. Задача:

   \[
   \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}}
   \]

   Решение:

   Обозначим:
   \[
   x = \sqrt[6]{a}, \quad y = \sqrt[6]{b}.
   \]

   Тогда:
   \[
   \sqrt{a} = x^3, \quad \sqrt{b} = y^3,
   \]
   и знаменатель:
   \[
   \sqrt[3]{a} = x^2, \quad \sqrt[6]{ab} = xy, \quad \sqrt[3]{b} = y^2.
   \]

   Таким образом, дробь:
   \[
   \frac{x^3 + y^3}{x^2 — xy + y^2}.
   \]

   Из формулы суммы кубов:
   \[
   x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2).
   \]

   Тогда дробь равна:
   \[
   \frac{(x + y)(x^2 — xy + y^2)}{x^2 — xy + y^2} = x + y = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}.
   \]

   Ответ: \(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\).

8. Задача:

   \[
   \frac{2 — \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}
   \]

   Решение:

   Представим числитель и знаменатель в виде корней:
   \[
   \frac{2 — \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{8} — \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{8}{2}} — \sqrt[3]{\frac{2}{2}} = \sqrt[3]{4} — 1.
   \]

   Ответ: \(\sqrt[3]{4} — 1\).

9. Задача:

   \[
   \frac{\sqrt[4]{a^3} — \sqrt[4]{a} + \sqrt{a} — 1}{a — \sqrt{a}}
   \]

   Решение:

   В числителе выделим общие множители:
   \[
   \sqrt[4]{a^3} — \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a^2} — 1),
   \]
   а также:
   \[
   \sqrt{a} — 1 = (\sqrt{a} — 1).
   \]

   Знаменатель:
   \[
   a — \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 — \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} — 1).
   \]

   Перепишем дробь:
   \[
   \frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a^2} — 1) + (\sqrt{a} — 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} — 1)}.
   \]

   Заметим, что:
   \[
   \sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}.
   \]

   Тогда числитель:
   \[
   \sqrt[4]{a}(\sqrt{a} — 1) + (\sqrt{a} — 1) = (\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} — 1).
   \]

   Подставляем обратно:
   \[
   \frac{(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} — 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} — 1)} = \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}.
   \]

   Ответ: \(\frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}\).