ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.31 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( \sqrt[4]{(x + 4)^4} = x + 4; \)

2) \( \sqrt[4]{(1 — 3x)^8} = (1 — 3x)^2; \)

3) \( \sqrt[6]{(x^2 — 2x — 3)^6} = 3 + 2x — x^2. \)

Решить уравнение:

1. ⁴√(x+4)⁴ = x + 4;|x + 4| = x + 4;

   x + 4 ≥ 0;

   x ≥ -4;

   Ответ: x ∈ [-4; +∞).

2. ⁴√(1 — 3x)⁸ = (1 — 3x)²;⁴√(1 — 3x)^(8 — 4) = (1 — 3x)²;

   |(1 — 3x)²| = (1 — 3x)²;

   (1 — 3x)² = (1 — 3x)²;

   x ∈ ℝ;

   Ответ: x ∈ (-∞; +∞).

3. ⁶√(x² — 2x — 3)⁶ = -3 + 2x — x²;|x² — 2x — 3| = — (x² — 2x — 3);

   -(x² — 2x — 3) ≥ 0;

   x² — 2x — 3 ≤ 0;

   D = 2² + 4·1·3 = 4 + 12 = 16, тогда:

   x₁ = (2 — 4)/2 = -1 и x₂ = (2 + 4)/2 = 3;

   (x + 1)(x — 3) ≤ 0;

   -1 ≤ x ≤ 3;

   Ответ: x ∈ [-1; 3].

Решить уравнение:

1. Рассмотрим уравнение:⁴√(x+4)⁴ = x + 4;

   По свойству корня четной степени, четвертая степень и четвертый корень взаимно обратны, но учитывая, что корень четной степени возвращает неотрицательное значение, мы можем переписать уравнение как:

   |x + 4| = x + 4;

   Рассмотрим условие, при котором модуль равен самому выражению без модуля:

   Это возможно, если выражение под модулем неотрицательно, то есть:

   x + 4 ≥ 0;

   Отсюда:

   x ≥ -4;

   Таким образом, решением уравнения являются все значения x, удовлетворяющие условию:

   Ответ: x ∈ [-4; +∞).

2. Рассмотрим уравнение:⁴√(1 — 3x)⁸ = (1 — 3x)²;

   Применим свойство степеней и корней:

   ⁴√(1 — 3x)⁸ = (1 — 3x)^{8/4} = (1 — 3x)^2;

   Таким образом уравнение принимает вид:

   (1 — 3x)^2 = (1 — 3x)^2;

   Очевидно, что это тождество выполняется для всех действительных чисел x.

   Проверка абсолютной величины:

   |(1 — 3x)^2| = (1 — 3x)^2, так как квадрат любого выражения неотрицателен.

   Следовательно, область определения уравнения — вся числовая ось.

   Ответ: x ∈ (-∞; +∞).

3. Рассмотрим уравнение:⁶√(x² — 2x — 3)⁶ = -3 + 2x — x²;

   По определению корня шестой степени:

   ⁶√(x² — 2x — 3)⁶ = |x² — 2x — 3|;

   Тогда уравнение перепишется как:

   |x² — 2x — 3| = -3 + 2x — x².

   Обозначим выражение справа как f(x):

   f(x) = -3 + 2x — x²;

   Для того, чтобы уравнение имело смысл, правая часть должна быть неотрицательной, так как левая часть — модуль:

   f(x) ≥ 0;

   Перепишем неравенство:

   -3 + 2x — x² ≥ 0;

   Переносим все в левую часть:

   -x² + 2x — 3 ≥ 0;

   Умножим на -1, меняя знак неравенства:

   x² — 2x + 3 ≤ 0;

   Рассмотрим дискриминант:

   D = (-2)² — 4·1·3 = 4 — 12 = -8 < 0;

   Так как дискриминант отрицателен, квадратное выражение x² — 2x + 3 всегда положительно, следовательно неравенство x² — 2x + 3 ≤ 0 не имеет решений.

   Значит, правая часть уравнения f(x) = -3 + 2x — x² всегда отрицательна, а левая часть — модуль, всегда неотрицательна.

   Ответ: x ∈ [-1; 3].