Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.31 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) ((x+4)^4)^(1/4)=x+4;
2) ((1-3x)^8)^(1/4)=(1-3x)^2;
3) ((x^2-2x-3)^6)^(1/6)=3+2x-x^2.
Решить уравнение:
- ⁴√(x+4)⁴ = x + 4;
|x + 4| = x + 4;
x + 4 ≥ 0;
x ≥ -4;
Ответ: x ∈ [-4; +∞).
- ⁴√(1 — 3x)⁸ = (1 — 3x)²;
⁴√(1 — 3x)^(8 — 4) = (1 — 3x)²;
|(1 — 3x)²| = (1 — 3x)²;
(1 — 3x)² = (1 — 3x)²;
x ∈ ℝ;
Ответ: x ∈ (-∞; +∞).
- ⁶√(x² — 2x — 3)⁶ = -3 + 2x — x²;
|x² — 2x — 3| = — (x² — 2x — 3);
-(x² — 2x — 3) ≥ 0;
x² — 2x — 3 ≤ 0;
D = 2² + 4·1·3 = 4 + 12 = 16, тогда:
x₁ = (2 — 4)/2 = -1 и x₂ = (2 + 4)/2 = 3;
(x + 1)(x — 3) ≤ 0;
-1 ≤ x ≤ 3;
Ответ: x ∈ [-1; 3].
Решить уравнение:
- Рассмотрим уравнение:
⁴√(x+4)⁴ = x + 4;
По свойству корня четной степени, четвертая степень и четвертый корень взаимно обратны, но учитывая, что корень четной степени возвращает неотрицательное значение, мы можем переписать уравнение как:
|x + 4| = x + 4;
Рассмотрим условие, при котором модуль равен самому выражению без модуля:
Это возможно, если выражение под модулем неотрицательно, то есть:
x + 4 ≥ 0;
Отсюда:
x ≥ -4;
Таким образом, решением уравнения являются все значения x, удовлетворяющие условию:
Ответ: x ∈ [-4; +∞).
- Рассмотрим уравнение:
⁴√(1 — 3x)⁸ = (1 — 3x)²;
Применим свойство степеней и корней:
⁴√(1 — 3x)⁸ = (1 — 3x)^{8/4} = (1 — 3x)^2;
Таким образом уравнение принимает вид:
(1 — 3x)^2 = (1 — 3x)^2;
Очевидно, что это тождество выполняется для всех действительных чисел x.
Проверка абсолютной величины:
|(1 — 3x)^2| = (1 — 3x)^2, так как квадрат любого выражения неотрицателен.
Следовательно, область определения уравнения — вся числовая ось.
Ответ: x ∈ (-∞; +∞).
- Рассмотрим уравнение:
⁶√(x² — 2x — 3)⁶ = -3 + 2x — x²;
По определению корня шестой степени:
⁶√(x² — 2x — 3)⁶ = |x² — 2x — 3|;
Тогда уравнение перепишется как:
|x² — 2x — 3| = -3 + 2x — x².
Обозначим выражение справа как f(x):
f(x) = -3 + 2x — x²;
Для того, чтобы уравнение имело смысл, правая часть должна быть неотрицательной, так как левая часть — модуль:
f(x) ≥ 0;
Перепишем неравенство:
-3 + 2x — x² ≥ 0;
Переносим все в левую часть:
-x² + 2x — 3 ≥ 0;
Умножим на -1, меняя знак неравенства:
x² — 2x + 3 ≤ 0;
Рассмотрим дискриминант:
D = (-2)² — 4·1·3 = 4 — 12 = -8 < 0;
Так как дискриминант отрицателен, квадратное выражение x² — 2x + 3 всегда положительно, следовательно неравенство x² — 2x + 3 ≤ 0 не имеет решений.
Значит, правая часть уравнения f(x) = -3 + 2x — x² всегда отрицательна, а левая часть — модуль, всегда неотрицательна.
Ответ: x ∈ [-1; 3].
Алгебра
