ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.32 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \sqrt[6]{(\sqrt{6} — 2)^3}; \)

2) \( \sqrt[4]{(1 — \sqrt{2})^2}; \)

3) \( \sqrt[9]{(\sqrt{2} — \sqrt{3})^3}; \)

4) \( \sqrt[6]{(\sqrt{3} — 2)^2}. \)

Упростить выражение:

1. \[
   \sqrt[6]{\left(\sqrt{6} — 2\right)^3} = \sqrt[3 \cdot 2]{\left(\sqrt{6} — 2\right)^3} = \sqrt{\sqrt{6} — 2};
   \]Ответ: \(\sqrt{\sqrt{6} — 2}\).
2. \[
   \sqrt[4]{\left(1 — \sqrt{2}\right)^2} = \sqrt[2 \cdot 2]{\left(1 — \sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{|1 — \sqrt{2}|} = \sqrt{\sqrt{2} — 1};
   \]Так как \(2 > 1 \Rightarrow \sqrt{2} > 1\);Ответ: \(\sqrt{\sqrt{2} — 1}\).
3. \[
   \sqrt[9]{\left(\sqrt{2} — \sqrt{3}\right)^3} = \sqrt[3 \cdot 3]{\left(\sqrt{2} — \sqrt{3}\right)^3} = \sqrt[3]{\sqrt{2} — \sqrt{3}};
   \]Ответ: \(\sqrt[3]{\sqrt{2} — \sqrt{3}}\).
4. \[
   \sqrt[6]{\left(\sqrt{3} — 2\right)^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{\left(\sqrt{3} — 2\right)^2} = \sqrt[3]{|\sqrt{3} — 2|} = \sqrt[3]{2 — \sqrt{3}};
   \]Так как \(4 > 3 \Rightarrow 2 > \sqrt{3}\);Ответ: \(\sqrt[3]{2 — \sqrt{3}}\).

Упростить выражение:

1. Рассмотрим выражение:\[
   \sqrt[6]{\left(\sqrt{6} — 2\right)^3}.
   \]

   Используем свойство степеней и корней:

   \[
   \sqrt[6]{a^b} = a^{\frac{b}{6}},
   \]

   где \(a = \sqrt{6} — 2\), \(b = 3\). Тогда:

   \[
   \sqrt[6]{\left(\sqrt{6} — 2\right)^3} = \left(\sqrt{6} — 2\right)^{\frac{3}{6}} = \left(\sqrt{6} — 2\right)^{\frac{1}{2}}.
   \]

   Выражение с показателем степени \(\frac{1}{2}\) — это квадратный корень, следовательно:

   \[
   \left(\sqrt{6} — 2\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\sqrt{6} — 2}.
   \]

   Ответ: \(\sqrt{\sqrt{6} — 2}\).

2. Рассмотрим выражение:\[
   \sqrt[4]{\left(1 — \sqrt{2}\right)^2}.
   \]

   Используем правило степеней:

   \[
   \sqrt[4]{a^2} = a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{|a|},
   \]

   поскольку корень четной степени возвращает неотрицательное значение, то:

   \[
   \sqrt[4]{\left(1 — \sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{|1 — \sqrt{2}|}.
   \]

   Поскольку \(\sqrt{2} \approx 1.414 > 1\), выражение под модулем отрицательное:

   \[
   1 — \sqrt{2} < 0 \Rightarrow |1 — \sqrt{2}| = \sqrt{2} — 1.
   \]

   Следовательно:

   \[
   \sqrt{|1 — \sqrt{2}|} = \sqrt{\sqrt{2} — 1}.
   \]

   Ответ: \(\sqrt{\sqrt{2} — 1}\).

3. Рассмотрим выражение:\[
   \sqrt[9]{\left(\sqrt{2} — \sqrt{3}\right)^3}.
   \]

   Применяем правило степеней:

   \[
   \sqrt[9]{a^3} = a^{\frac{3}{9}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}.
   \]

   То есть:

   \[
   \sqrt[9]{\left(\sqrt{2} — \sqrt{3}\right)^3} = \sqrt[3]{\sqrt{2} — \sqrt{3}}.
   \]

   Обратите внимание, что \(\sqrt{3} \approx 1.732\) больше \(\sqrt{2} \approx 1.414\), поэтому выражение под корнем отрицательное, но кубический корень определён для всех действительных чисел.

   Ответ: \(\sqrt[3]{\sqrt{2} — \sqrt{3}}\).

4. Рассмотрим выражение:\[
   \sqrt[6]{\left(\sqrt{3} — 2\right)^2}.
   \]

   Используем правило степеней:

   \[
   \sqrt[6]{a^2} = a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{|a|},
   \]
   так как корень четной степени возвращает неотрицательное значение, берём модуль.

   Выражение под модулем:

   \[
   |\sqrt{3} — 2|.
   \]

   Поскольку \(\sqrt{3} \approx 1.732 < 2\), то:

   \[
   |\sqrt{3} — 2| = 2 — \sqrt{3}.
   \]

   Следовательно:

   \[
   \sqrt[6]{\left(\sqrt{3} — 2\right)^2} = \sqrt[3]{2 — \sqrt{3}}.
   \]

   Ответ: \(\sqrt[3]{2 — \sqrt{3}}\).