ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.33 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \sqrt[8]{(\sqrt{5} — 2)^4}; \)

2) \( \sqrt[10]{(\sqrt{3} — \sqrt{5})^2}; \)

3) \( \sqrt[12]{(\sqrt{11} — 3)^3}; \)

4) \( \sqrt[15]{(\sqrt{7} — 3)^3}. \)

Упростить выражение:

1) \(\sqrt[8]{(\sqrt{5} — 2)^4} = \sqrt[4 \cdot 2]{(\sqrt{5} — 2)^4} = \sqrt[2]{|\sqrt{5} — 2|} = \sqrt{\sqrt{5} — 2};\)
Ответ: \(\sqrt{\sqrt{5} — 2}\).

2) \(\sqrt[10]{(\sqrt{3} — \sqrt{5})^2} = \sqrt[5 \cdot 2]{(\sqrt{3} — \sqrt{5})^2} = \sqrt[5]{|\sqrt{3} — \sqrt{5}|} = \sqrt[5]{\sqrt{5} — \sqrt{3}};\)
Ответ: \(\sqrt[5]{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\).

3) \(\sqrt[12]{(\sqrt{11} — 3)^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{(\sqrt{11} — 3)^3} = \sqrt[4]{\sqrt{11} — 3};\)
Ответ: \(\sqrt[4]{\sqrt{11} — 3}\).

4) \(\sqrt[15]{(\sqrt{7} — 3)^5} = \sqrt[5 \cdot 3]{(\sqrt{7} — 3)^5} = \sqrt[3]{\sqrt{7} — 3};\)
Ответ: \(\sqrt[5]{\sqrt{7} — 3}\).

Упростить выражение:

1) Рассмотрим выражение \(\sqrt[8]{(\sqrt{5} — 2)^4}\).
Сначала преобразуем корень с показателем степени 8 и степень 4 под корнем:

\[\sqrt[8]{(\sqrt{5} — 2)^4} = \sqrt[8]{(\sqrt{5} — 2)^4} =\]

\[= \left((\sqrt{5} — 2)^4\right)^{\frac{1}{8}} = (\sqrt{5} — 2)^{\frac{4}{8}}=\]

\[= (\sqrt{5} — 2)^{\frac{1}{2}}.\]

Это эквивалентно квадратному корню: \(\sqrt{\sqrt{5} — 2}\).
Поскольку \(5 > 4\), то \(\sqrt{5} > 2\), значит выражение под корнем положительно, и можно записать без модуля.
Ответ: \(\sqrt{\sqrt{5} — 2}\).

2) Рассмотрим выражение \(\sqrt[10]{(\sqrt{3} — \sqrt{5})^2}\).
Преобразуем степень и корень:

\[\sqrt[10]{(\sqrt{3} — \sqrt{5})^2} = \left((\sqrt{3} — \sqrt{5})^2\right)^{\frac{1}{10}} =\]

\[= (\sqrt{3} — \sqrt{5})^{\frac{2}{10}} = (\sqrt{3} — \sqrt{5})^{\frac{1}{5}}.\]

Так как \(\sqrt{3} < \sqrt{5}\), модуль можно раскрыть: \(|\sqrt{3} — \sqrt{5}| = \sqrt{5} — \sqrt{3}\).
Следовательно, выражение равно \(\sqrt[5]{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\).
Ответ: \(\sqrt[5]{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\).

3) Рассмотрим выражение \(\sqrt[12]{(\sqrt{11} — 3)^3}\).
Преобразуем корень и степень:

\[\sqrt[12]{(\sqrt{11} — 3)^3} = \left((\sqrt{11} — 3)^3\right)^{\frac{1}{12}} =\]

\[= (\sqrt{11} — 3)^{\frac{3}{12}} = (\sqrt{11} — 3)^{\frac{1}{4}}.\]

Это эквивалентно четвертому корню: \(\sqrt[4]{\sqrt{11} — 3}\).
Ответ: \(\sqrt[4]{\sqrt{11} — 3}\).

4) Рассмотрим выражение \(\sqrt[15]{(\sqrt{7} — 3)^5}\).
Преобразуем корень и степень:

\[\sqrt[15]{(\sqrt{7} — 3)^5} = \left((\sqrt{7} — 3)^5\right)^{\frac{1}{15}} =\]

\[= (\sqrt{7} — 3)^{\frac{5}{15}} = (\sqrt{7} — 3)^{\frac{1}{3}}.\]

Это эквивалентно кубическому корню: \(\sqrt[3]{\sqrt{7} — 3}\).
Ответ: \(\sqrt[5]{\sqrt{7} — 3}\).