ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.34 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции;
1) y=2x+(x^6)^(1/6);
2) y=((x-2)^8)^(1/8);
3) y=x^(1/4)·(x^3)^(1/4);
4) y=(x^2)^(1/4)·(x^2)^(1/4);
5) y=x^3/(x^6)^(1/6)+2;
6) y=(x^3)^(1/6)·(x^9)^(1/6).

Построить график функции:

1) \( y = 2x + \sqrt[6]{x^6} = 2x + |x|; \)

Область определения функции:

\( D(y) = (-\infty; +\infty); \)

Если \( x \geq 0 \), тогда:

\( y = 2x + x = 3x; \)

Если \( x < 0 \), тогда:

\( y = 2x — x = x; \)

График функции:

2) \( y = \sqrt[8]{(x-2)^8} = |x-2|; \)

Область определения функции:

\( D(y) = (-\infty; +\infty); \)

Если \( x \geq 2 \), тогда:

\( y = x — 2; \)

Если \( x < 2 \), тогда:

\( y = -(x-2) = 2 — x; \)

График функции:

3) \( y = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x^3} = \sqrt[4]{x \cdot x^3} = \sqrt[4]{x^4} = |x|; \)

Область определения функции:

\( D(y) = [0; +\infty); \)

Если \( x \geq 0 \), тогда:

\( y = x; \)

График функции:

4) \( y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2} = \sqrt[4]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[4]{x^4} = |x|; \)

Область определения функции:

\( D(y) = (-\infty; +\infty); \)

Если \( x \geq 0 \), тогда:

\( y = x; \)

Если \( x < 0 \), тогда:

\( y = -x; \)

График функции:

5) \( y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2 = \frac{x^3}{|x|} + 2; \)

Область определения функции:

\( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty); \)

Если \( x > 0 \), тогда:

\[
y = \frac{x^3}{x} + 2 = x^2 + 2;
\]

Если \( x < 0 \), тогда:

\[
y = \frac{x^3}{-x} + 2 = 2 — x^2;
\]

График функции:

6) \( y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9} = \sqrt[6]{x^3 \cdot x^9} = \sqrt[6]{x^{12}} = \sqrt[6]{(x^2)^6} = x^2; \)

Область определения функции:

\( D(y) = [0; +\infty); \)

Координаты некоторых точек:

График функции:

Построить график функции:

1) \( y = 2x + \sqrt[6]{x^6} = 2x + |x| \)

Рассмотрим область определения функции. Так как под корнем шестой степени стоит \(x^6\), а \(x^6 \geq 0\) для любого \(x \in \mathbb{R}\), функция определена на всей числовой оси

Следовательно, область определения функции:

\[
D(y) = (-\infty, +\infty)
\]

Рассмотрим поведение функции для положительных и отрицательных значений \(x\):

• Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\), тогда функция принимает вид:
  \[
  y = 2x + x = 3x
  \]
  Таблица значений:

  \( x \)	0	1	2	5
  \( y \)	0	3	6	15

  Здесь видно, что при увеличении \(x\) функция растет линейно с коэффициентом 3.

• Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), тогда функция принимает вид:
  \[
  y = 2x — x = x
  \]
  Таблица значений:

  \( x \)	-5	-2	-1	0
  \( y \)	-5	-2	-1	0

  Функция также линейна для отрицательных значений, но с коэффициентом 1.

Таким образом, график функции состоит из двух линейных участков: прямой \(y=3x\) при \(x \geq 0\) и прямой \(y=x\) при \(x < 0\). Точка разрыва отсутствует, так как в точке \(x=0\) значения обеих частей совпадают и равны нулю.

График функции:

2) \( y = \sqrt[8]{(x-2)^8} = |x-2| \)

Область определения функции определяется неравенством под корнем:

Следовательно, область определения:

\[
D(y) = (-\infty, +\infty)
\]

Рассмотрим функцию по частям:

• Если \( x \geq 2 \), то \( |x-2| = x-2 \), тогда:
  \[
  y = x — 2
  \]
  Таблица значений:

  \( x \)	2	3	5
  \( y \)	0	1	3

  Значения функции растут линейно с угловым коэффициентом 1 при \(x \geq 2\).

• Если \( x < 2 \), то \( |x-2| = -(x-2) = 2 — x \), тогда:
  \[
  y = 2 — x
  \]
  Таблица значений:

  \( x \)	0	1	2
  \( y \)	2	1	0

  Значения функции убывают линейно с угловым коэффициентом -1 при \(x < 2\).

График функции представляет собой «V»-образную фигуру с вершиной в точке \((2, 0)\), где функция меняет направление.

График функции:

3) \( y = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x^3} \)

Область определения функции:

\[
x \geq 0
\]

Так как корень четвёртой степени определён только для неотрицательных чисел, функция определена только на \([0, +\infty)\).

Выразим функцию через степени:

\[
y = x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{3}{4}}
\]

Таблица значений:

Функция монотонно возрастает и имеет выпуклый характер на всей области определения. При \(x=0\) функция равна нулю, а с увеличением \(x\) растёт быстрее, чем простая степень \(x^{1/4}\).

График функции:

4) \( y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2} \)

Область определения:

\[
x \in \mathbb{R}
\]

Подкоренные выражения \(x^2\) всегда неотрицательны, поэтому функция определена на всей числовой оси.

Упростим выражение:

\[
y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2} = \sqrt[4]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[4]{x^4} = |x|
\]

Таблица значений:

График функции — классический график модуля, состоящий из двух линейных частей, симметричных относительно оси \(y\).

График функции:

5) \( y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2 = \frac{x^3}{|x|} + 2 \)

Область определения:

\[
x \neq 0
\]

Поскольку знаменатель не может быть равен нулю, функция не определена в точке \(x=0\).

Рассмотрим функцию на положительной и отрицательной полуосьях:

• Для \(x > 0\):
  \[
  y = \frac{x^3}{x} + 2 = x^2 + 2
  \]
  Таблица значений:

  \( x \)	0.5	1	2	3
  \( y \)	0.25 + 2 = 2.25	3	6	11

  Парабола, ветвь вверх, смещённая на 2 единицы вверх.

• Для \(x < 0\):
  \[
  y = \frac{x^3}{-x} + 2 = -x^2 + 2
  \]
  Таблица значений:

  \( x \)	-3	-2	-1	-0.5
  \( y \)	-9 + 2 = -7	-4 + 2 = -2	-1 + 2 = 1	-0.25 + 2 = 1.75

  Парабола, ветвь вниз, смещённая на 2 единицы вверх.

Функция не определена в точке \(x=0\), где происходит разрыв.

График функции:

6) \( y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9} = \sqrt[6]{x^{12}} = \sqrt[6]{(x^2)^6} = |x|^2 = x^2 \) при \(x \geq 0\)

Область определения:

\[
x \geq 0
\]

Поскольку корень шестой степени из \(x^3\) определён при неотрицательных \(x\), функция определена на \([0, +\infty)\).

Функция упрощается до:

\[
y = x^2
\]

Таблица значений:

График функции — парабола, ограниченная областью определения справа от нуля, начинается в точке \((0,0)\) и растёт вверх.

График функции: