Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.35 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Постройте график функции:
1) y=(x^4)^(1/4)-x, если x?0;
2) y=(x^8)^(1/8)-2x;
3) y=(-x)^(1/4)·(-x^3)^(1/4);
4) y=((x^6)^(1/6))/x.
Построить график функции:
1) \( y = \sqrt[4]{x^4} — x, \text{ если } x \leq 0; \)
\( y = |x| — x = -x — x = -2x; \)
Координаты некоторых точек:
| \(x\) | -2 | 0 |
|---|---|---|
| \(y\) | 4 | 0 |
График функции:
2) \( y = \sqrt[8]{x^8} — 2x = |x| — 2x; \)
Область определения функции:
\( x^8 \geq 0, \quad x \in \mathbb{R}; \)
\( D(y) = (-\infty; +\infty); \)
Если \( x \geq 0 \), тогда:
\( y = x — 2x = -x; \)
| \(x\) | 0 | 2 |
|---|---|---|
| \(y\) | 0 | -2 |
Если \( x < 0 \), тогда:
\( y = -x — 2x = -3x; \)
| \(x\) | -1 | 0 |
|---|---|---|
| \(y\) | 3 | 0 |
График функции:
3) \( y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3} = \sqrt[4]{(-x) \cdot (-x^3)} = \sqrt[4]{x^4} = |x|; \)
Область определения функции:
\( -x^3 \geq 0, \quad -x \geq 0, \quad x \leq 0; \)
\( D(y) = (-\infty; 0]; \)
Если \( x \leq 0 \), тогда:
\( y = -x; \)
| \(x\) | -2 | 0 |
|---|---|---|
| \(y\) | 2 | 0 |
График функции:
4) \( y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x} = \frac{|x|}{x}; \)
Область определения функции:
\( x^6 \geq 0, \quad x \in \mathbb{R}; \quad x \neq 0; \)
\( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty); \)
Если \( x > 0 \), тогда:
\( y = \frac{x}{x} = 1; \)
Если \( x < 0 \), тогда:
\( y = \frac{-x}{x} = -1; \)
График функции:
Построить график функции:
1) \( y = \sqrt[4]{x^4} — x, \text{ если } x \leq 0 \)
Функция принимает вид:
\[
y = |x| — x
\]
Поскольку при \(x \leq 0\), \(|x| = -x\), тогда:
\[
y = -x — x = -2x
\]
Рассмотрим несколько значений функции:
| \(x\) | -2 | -1 | 0 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 4 | 2 | 0 |
График функции представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом 2, проходящую через точки \((-2, 4)\), \((-1, 2)\), и \((0, 0)\). Область определения ограничена \(x \leq 0\).
График функции:
2) \( y = \sqrt[8]{x^8} — 2x = |x| — 2x \)
Область определения функции:
Так как \(x^8 \geq 0\) для всех \(x\), область определения:
\[
D(y) = (-\infty, +\infty)
\]
Рассмотрим функцию по частям:
- Если \(x \geq 0\), то \( |x| = x \), тогда:
\[
y = x — 2x = -x
\]
Таблица значений:\(x\) 0 1 2 \(y\) 0 -1 -2 Функция убывает линейно с угловым коэффициентом -1 при \(x \geq 0\).
- Если \(x < 0\), то \( |x| = -x \), тогда:
\[
y = -x — 2x = -3x
\]
Таблица значений:\(x\) -2 -1\) 0 \(y\) 6 3 0 Функция возрастает с угловым коэффициентом 3 при \(x < 0\).
График функции представляет собой две линейные части, соединённые в точке \(x=0\), где функция равна нулю.
График функции:
3) \( y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3} = \sqrt[4]{(-x) \cdot (-x^3)} = \sqrt[4]{x^4} = |x| \)
Область определения:
Подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
\[
-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0
\]
Следовательно, область определения:
\[
D(y) = (-\infty, 0]
\]
При \(x \leq 0\), функция принимает вид:
\[
y = |x| = -x
\]
Таблица значений:
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 3 | 2 | 1 | 0 |
График функции — это прямая линия с угловым коэффициентом -1, ограниченная слева и достигающая нуля в точке \(x=0\).
График функции:
4) \( y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x} = \frac{|x|}{x} \)
Область определения:
Так как подкоренное выражение \(x^6 \geq 0\) для всех \(x\), но знаменатель не может быть равен нулю, область определения:
\[
D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)
\]
Рассмотрим функцию на положительной и отрицательной части оси \(x\):
- Если \(x > 0\), то:
\[
y = \frac{x}{x} = 1
\]
Функция постоянна и равна 1 на интервале \((0, +\infty)\). - Если \(x < 0\), то:
\[
y = \frac{-x}{x} = -1
\]
Функция постоянна и равна -1 на интервале \((-\infty, 0)\).
В точке \(x=0\) функция не определена, что соответствует разрыву типа «скачок».
График функции состоит из двух горизонтальных линий: \(y=1\) для \(x>0\) и \(y=-1\) для \(x<0\), с разрывом в точке 0.
График функции:
Алгебра
