ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.36 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( \sqrt[6]{x^6} = x — 4; \)

2) \( \sqrt[10]{x^{10}} = 6 — x; \)

3) \( 2 \sqrt[4]{x^4} = x + 3. \)

Решить уравнение:

1. \( \sqrt[6]{x^6} = x — 4; \)\( |x| = x — 4; \)

   Если \( x \geq 0 \), тогда:

   \( x = x — 4; \)

   \( 0x = -4; \)

   Если \( x < 0 \), тогда:

   \( -x = x — 4; \)

   \( -2x = -4; \)

   \( x = 2; \)

   Ответ: корней нет.

2. \( \sqrt[10]{x^{10}} = 6 — x; \)\( |x| = 6 — x; \)

   Если \( x \geq 0 \), тогда:

   \( x = 6 — x; \)

   \( 2x = 6; \)

   \( x = 3; \)

   Если \( x < 0 \), тогда:

   \( -x = 6 — x; \)

   \( 0x = 6; \)

   Ответ: 3.

3. \( 2 \sqrt[4]{x^4} = x + 3; \)\( 2|x| = x + 3; \)

   Если \( x \geq 0 \), тогда:

   \( 2x = x + 3; \)

   \( x = 3; \)

   Если \( x < 0 \), тогда:

   \( -2x = x + 3; \)

   \( -3x = 3; \)

   \( x = -1; \)

   Ответ: -1; 3.

Решение уравнений подробно:

1. Дано уравнение:\[
   \sqrt[6]{x^6} = x — 4
   \]

   Известно, что \(\sqrt[6]{x^6} = |x|\), так как шестой корень из шестой степени числа равен абсолютному значению этого числа.

   Тогда уравнение можно переписать как:

   \[
   |x| = x — 4
   \]

   Рассмотрим два случая в зависимости от знака \(x\):

   Случай 1: \(x \geq 0\)

   Тогда \(|x| = x\), подставляем в уравнение:

   \[
   x = x — 4
   \]

   Вычитаем \(x\) с обеих сторон:

   \[
   0 = -4
   \]

   Получили противоречие, значит в этом случае решений нет.

   Случай 2: \(x < 0\)

   Тогда \(|x| = -x\), подставляем в уравнение:

   \[
   -x = x — 4
   \]

   Переносим все в одну сторону:

   \[
   -x — x = -4
   \]

   \[
   -2x = -4
   \]

   Делим обе части на \(-2\):

   \[
   x = 2
   \]

   Но \(x = 2\) не удовлетворяет условию \(x < 0\), следовательно решений нет.

   Итог: уравнение не имеет корней.

2. Дано уравнение:\[
   \sqrt[10]{x^{10}} = 6 — x
   \]

   Так как \(\sqrt[10]{x^{10}} = |x|\), перепишем уравнение:

   \[
   |x| = 6 — x
   \]

   Рассмотрим два случая:

   Случай 1: \(x \geq 0\)

   Тогда \(|x| = x\), подставляем:

   \[
   x = 6 — x
   \]

   Переносим переменные в одну сторону:

   \[
   x + x = 6
   \]

   \[
   2x = 6
   \]

   Делим обе части на 2:

   \[
   x = 3
   \]

   Проверяем условие \(x \geq 0\), оно выполняется, значит \(x=3\) — решение.

   Случай 2: \(x < 0\)

   Тогда \(|x| = -x\), подставляем:

   \[
   -x = 6 — x
   \]

   Переносим все в одну сторону:

   \[
   -x + x = 6
   \]

   \[
   0 = 6
   \]

   Получаем противоречие, решений нет.

   Итог: единственное решение \(x = 3\).

3. Дано уравнение:\[
   2 \sqrt[4]{x^4} = x + 3
   \]

   Поскольку \(\sqrt[4]{x^4} = |x|\), перепишем уравнение:

   \[
   2|x| = x + 3
   \]

   Рассмотрим два случая:

   Случай 1: \(x \geq 0\)

   Тогда \(|x| = x\), подставляем:

   \[
   2x = x + 3
   \]

   Вычитаем \(x\) с обеих сторон:

   \[
   2x — x = 3
   \]

   \[
   x = 3
   \]

   Проверяем условие \(x \geq 0\) — выполняется, значит \(x=3\) — корень.

   Случай 2: \(x < 0\)

   Тогда \(|x| = -x\), подставляем:

   \[
   2(-x) = x + 3
   \]

   \[
   -2x = x + 3
   \]

   Переносим все в одну сторону:

   \[
   -2x — x = 3
   \]

   \[
   -3x = 3
   \]

   Делим обе части на \(-3\):

   \[
   x = -1
   \]

   Проверяем условие \(x < 0\) — выполняется, значит \(x = -1\) — корень.

   Итог: уравнение имеет два корня: \(x = -1\) и \(x = 3\).