ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.38 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) и \( b \) верно равенство:

1) \( \sqrt[4]{a^5b^5} = ab \sqrt[4]{ab}; \)

2) \( \sqrt[4]{a^4b} = a^4 \sqrt{b}; \)

3) \( \sqrt[4]{a^4b} = -a^4 \sqrt{b}? \)

При каких значениях a и b верно равенство:

1. \[
   \sqrt[4]{a^5 b^5} = ab \sqrt[4]{ab};
   \]\[
   \sqrt[4]{a^5 b^5} = \sqrt[4]{a^4 b^4} \cdot ab;
   \]

   \[
   \sqrt[4]{a^5 b^5} = \sqrt[4]{a^5 b^5};
   \]

   Выражение имеет смысл при:

   Правая часть положительна при:

   \[
   ab \geq 0;
   \]

   Ответ: \(a, b \in [0; +\infty)\) или \(a, b \in (-\infty; 0]\).

2. \[
   \sqrt[4]{a^4 b} = a \sqrt[4]{b};
   \]\[
   \sqrt[4]{a^4 b} = \sqrt[4]{a^4 b^4};
   \]

   Выражение имеет смысл при:

   Правая часть положительна при:

   \[
   a \geq 0;
   \]

   Ответ: \(b = 0, a \in \mathbb{R}\) или \(a \in [0; +\infty), b \in (0; +\infty)\).

3. \[
   \sqrt[4]{a^4 b} = -a \sqrt[4]{b};
   \]\[
   \sqrt[4]{a^4 b} = \sqrt[4]{(-a)^4 \cdot b};
   \]

   \[
   \sqrt[4]{a^4 b} = \sqrt[4]{a^4 b};
   \]

   Выражение имеет смысл при:

   \[
   a^4 b \geq 0, \quad b \geq 0;
   \]

   Правая часть положительна при:

   Ответ: \(b = 0, a \in \mathbb{R}\) или \(a \in (-\infty; 0], b \in (0; +\infty)\).

Рассмотрим подробно, при каких значениях a и b верны данные равенства с учетом области определения и знаков выражений.

1) Равенство:

\[
\sqrt[4]{a^5 b^5} = ab \sqrt[4]{ab}
\]

Раскроем левую часть, используя свойства корней:

\[
\sqrt[4]{a^5 b^5} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt[4]{a^4 b^4} \cdot \sqrt[4]{ab} = ab \sqrt[4]{ab}
\]

Таким образом, левая и правая части совпадают по форме.

Область определения выражения:

Корень четной степени определён только для неотрицательных чисел, следовательно:

\[
a^5 b^5 \geq 0
\]

Так как степени нечётные, знак произведения \(a^5 b^5\) совпадает со знаком произведения \(ab\), значит:

\[
ab \geq 0
\]

Условие положительности правой части:

Правая часть равенства — \(ab \sqrt[4]{ab}\) — положительна, если произведение \(ab\) неотрицательно, так как корень четвёртой степени из неотрицательного числа неотрицателен.

Итог: равенство верно при тех же условиях, что и смысл выражения, то есть при

\[
ab \geq 0
\]

Это означает, что либо оба числа \(a\) и \(b\) неотрицательны, либо оба неположительны:

\[
a, b \in [0; +\infty) \quad \text{или} \quad a, b \in (-\infty; 0]
\]

2) Равенство:

\[
\sqrt[4]{a^4 b} = a \sqrt[4]{b}
\]

Раскроем левую часть:

\[
\sqrt[4]{a^4 b} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b} = |a| \sqrt[4]{b}
\]

Правая часть равна \(a \sqrt[4]{b}\).

Область определения выражения:

Корень четвёртой степени существует для неотрицательных чисел, значит:

\[
a^4 b \geq 0
\]

Так как \(a^4 \geq 0\) для всех \(a\), то условие сводится к:

\[
b \geq 0
\]

Условие равенства:

Приравниваем обе части:

\[
|a| \sqrt[4]{b} = a \sqrt[4]{b}
\]

Если \(\sqrt[4]{b} > 0\), то делим обе части на \(\sqrt[4]{b}\) и получаем:

\[
|a| = a
\]

Это возможно, если:

\[
a \geq 0
\]

Если \(\sqrt[4]{b} = 0\), то есть \(b = 0\), то равенство верно при любом \(a\).

Итог:

• Если \(b = 0\), то \(a \in \mathbb{R}\).
• Если \(b > 0\), то \(a \geq 0\).

То есть

\[
b = 0, a \in \mathbb{R} \quad \text{или} \quad a \in [0; +\infty), b \in (0; +\infty)
\]

3) Равенство:

\[
\sqrt[4]{a^4 b} = -a \sqrt[4]{b}
\]

Раскроем левую часть, как и в предыдущем пункте:

\[
\sqrt[4]{a^4 b} = |a| \sqrt[4]{b}
\]

Правая часть равна \(-a \sqrt[4]{b}\).

Область определения:

Корень четвёртой степени определён для неотрицательных чисел, значит:

Условие равенства:

При \(\sqrt[4]{b} > 0\) делим обе части на \(\sqrt[4]{b}\):

\[
|a| = -a
\]

Это возможно, если:

Если \(b = 0\), то \(\sqrt[4]{b} = 0\) и равенство верно при любом \(a\).

Итог:

• Если \(b = 0\), то \(a \in \mathbb{R}\).
• Если \(b > 0\), то \(a \leq 0\).

То есть

\[
b = 0, a \in \mathbb{R} \quad \text{или} \quad a \in (-\infty; 0], b \in (0; +\infty)
\]