Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.38 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
При каких значениях a и b верно равенство:
1) (a^5 b^5)^(1/4)=ab(ab)^(1/4);
2) (a^4 b)^(1/4)=a(b^(1/4));
3) (a^4 b)^(1/4)=-a(b^(1/4))?
При каких значениях a и b верно равенство:
- \[
\sqrt[4]{a^5 b^5} = ab \sqrt[4]{ab};
\]\[
\sqrt[4]{a^5 b^5} = \sqrt[4]{a^4 b^4} \cdot ab;
\]\[
\sqrt[4]{a^5 b^5} = \sqrt[4]{a^5 b^5};
\]Выражение имеет смысл при:
Правая часть положительна при:
\[
ab \geq 0;
\]Ответ: \(a, b \in [0; +\infty)\) или \(a, b \in (-\infty; 0]\).
- \[
\sqrt[4]{a^4 b} = a \sqrt[4]{b};
\]\[
\sqrt[4]{a^4 b} = \sqrt[4]{a^4 b^4};
\]Выражение имеет смысл при:
Правая часть положительна при:
\[
a \geq 0;
\]Ответ: \(b = 0, a \in \mathbb{R}\) или \(a \in [0; +\infty), b \in (0; +\infty)\).
- \[
\sqrt[4]{a^4 b} = -a \sqrt[4]{b};
\]\[
\sqrt[4]{a^4 b} = \sqrt[4]{(-a)^4 \cdot b};
\]\[
\sqrt[4]{a^4 b} = \sqrt[4]{a^4 b};
\]Выражение имеет смысл при:
\[
a^4 b \geq 0, \quad b \geq 0;
\]Правая часть положительна при:
Ответ: \(b = 0, a \in \mathbb{R}\) или \(a \in (-\infty; 0], b \in (0; +\infty)\).
Рассмотрим подробно, при каких значениях a и b верны данные равенства с учетом области определения и знаков выражений.
1) Равенство:
\[
\sqrt[4]{a^5 b^5} = ab \sqrt[4]{ab}
\]
Раскроем левую часть, используя свойства корней:
\[
\sqrt[4]{a^5 b^5} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt[4]{a^4 b^4} \cdot \sqrt[4]{ab} = ab \sqrt[4]{ab}
\]
Таким образом, левая и правая части совпадают по форме.
Область определения выражения:
Корень четной степени определён только для неотрицательных чисел, следовательно:
\[
a^5 b^5 \geq 0
\]
Так как степени нечётные, знак произведения \(a^5 b^5\) совпадает со знаком произведения \(ab\), значит:
\[
ab \geq 0
\]
Условие положительности правой части:
Правая часть равенства — \(ab \sqrt[4]{ab}\) — положительна, если произведение \(ab\) неотрицательно, так как корень четвёртой степени из неотрицательного числа неотрицателен.
Итог: равенство верно при тех же условиях, что и смысл выражения, то есть при
\[
ab \geq 0
\]
Это означает, что либо оба числа \(a\) и \(b\) неотрицательны, либо оба неположительны:
\[
a, b \in [0; +\infty) \quad \text{или} \quad a, b \in (-\infty; 0]
\]
2) Равенство:
\[
\sqrt[4]{a^4 b} = a \sqrt[4]{b}
\]
Раскроем левую часть:
\[
\sqrt[4]{a^4 b} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b} = |a| \sqrt[4]{b}
\]
Правая часть равна \(a \sqrt[4]{b}\).
Область определения выражения:
Корень четвёртой степени существует для неотрицательных чисел, значит:
\[
a^4 b \geq 0
\]
Так как \(a^4 \geq 0\) для всех \(a\), то условие сводится к:
\[
b \geq 0
\]
Условие равенства:
Приравниваем обе части:
\[
|a| \sqrt[4]{b} = a \sqrt[4]{b}
\]
Если \(\sqrt[4]{b} > 0\), то делим обе части на \(\sqrt[4]{b}\) и получаем:
\[
|a| = a
\]
Это возможно, если:
\[
a \geq 0
\]
Если \(\sqrt[4]{b} = 0\), то есть \(b = 0\), то равенство верно при любом \(a\).
Итог:
- Если \(b = 0\), то \(a \in \mathbb{R}\).
- Если \(b > 0\), то \(a \geq 0\).
То есть
\[
b = 0, a \in \mathbb{R} \quad \text{или} \quad a \in [0; +\infty), b \in (0; +\infty)
\]
3) Равенство:
\[
\sqrt[4]{a^4 b} = -a \sqrt[4]{b}
\]
Раскроем левую часть, как и в предыдущем пункте:
\[
\sqrt[4]{a^4 b} = |a| \sqrt[4]{b}
\]
Правая часть равна \(-a \sqrt[4]{b}\).
Область определения:
Корень четвёртой степени определён для неотрицательных чисел, значит:
Условие равенства:
При \(\sqrt[4]{b} > 0\) делим обе части на \(\sqrt[4]{b}\):
\[
|a| = -a
\]
Это возможно, если:
Если \(b = 0\), то \(\sqrt[4]{b} = 0\) и равенство верно при любом \(a\).
Итог:
- Если \(b = 0\), то \(a \in \mathbb{R}\).
- Если \(b > 0\), то \(a \leq 0\).
То есть
\[
b = 0, a \in \mathbb{R} \quad \text{или} \quad a \in (-\infty; 0], b \in (0; +\infty)
\]
Алгебра
