Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.39 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Вынесите множитель из-под знака корня:
1) \( \sqrt[4]{-m^9}; \)
2) \( \sqrt[4]{a^8b^{13}}, \text{ если } a > 0; \)
3) \( \sqrt[6]{x^6y^7}, \text{ если } x \neq 0; \)
4) \( \sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}; \)
5) \( \sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}}, \text{ если } a > 0, c < 0; \)
6) \( \sqrt[4]{a^{15}b^{15}}; \)
7) \( \sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}. \)
1) \( \sqrt[4]{-m^9} = \sqrt[4]{-m \cdot m^8} = \sqrt[4]{-m} \cdot \sqrt[4]{m^{4 \cdot 2}} = |m^2| \cdot \sqrt[4]{-m} = m^2 \cdot \sqrt[4]{-m} \);
\(-m^9 \geq 0 \Rightarrow -m \geq 0 \Rightarrow m \leq 0;\)
Ответ: \( m^2 \cdot \sqrt[4]{-m} \).
2) \( \sqrt[4]{a^8 b^{13}}, \) если \( a > 0 \);
\( \sqrt[4]{a^8 b^{13}} = \sqrt[4]{a^8 \cdot b^{12} \cdot b} = \sqrt[4]{a^{4 \cdot 2} \cdot b^{4 \cdot 3} \cdot b} = |a^2| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[4]{b} = a^2 b^3 \sqrt[4]{b}; \)
\( a^8 b^{13} \geq 0 \Rightarrow b^{13} \geq 0 \Rightarrow b \geq 0; \)
Ответ: \( a^2 b^3 \sqrt[4]{b} \).
3) \( \sqrt[6]{x^6 y^7}, \) если \( x \neq 0 \);
\( \sqrt[6]{x^6 y^7} = \sqrt[6]{x^6} \cdot \sqrt[6]{y^6} \cdot \sqrt[6]{y} = |x| \cdot |y| \cdot \sqrt[6]{y} = |x| y \sqrt[6]{y}; \)
\( x^6 y^7 \geq 0 \Rightarrow y^7 \geq 0 \Rightarrow y \geq 0; \)
Ответ: \( |x| y \sqrt[6]{y} \).
4) \( \sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot m^{16} \cdot m^2 \cdot n^{16} \cdot n}=\)
\(= \sqrt[4]{24 \cdot m^{4 \cdot 4} \cdot n^{4 \cdot 4} \cdot 2m^2 n} = 2 \cdot |m^4| \cdot |n^4| \cdot \sqrt[4]{2m^2 n} = 2m^4 n^4 \sqrt[4]{2m^2 n}= \);
\( 32m^{18}n^{17} \geq 0 \Rightarrow n^{17} \geq 0 \Rightarrow n \geq 0; \)
Ответ: \( 2m^4 n^4 \sqrt[4]{2m^2 n} \).
5) \( \sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}}, \) если \( a > 0, c < 0; \)
\( \sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}} = \sqrt[4]{81 \cdot 2 \cdot a^4 b^8 c^{12}}=\)
\(= \sqrt[4]{3^4 \cdot a^4 \cdot b^{4 \cdot 2} \cdot c^{4 \cdot 3} \cdot 2} = 3 \cdot |a| \cdot |b^2| \cdot |c^3| \cdot \sqrt[4]{2}\)
\(= 3ab^2 (-c^3) \sqrt[4]{2} = -3ab^2 c^3 \sqrt[4]{2} \);
Ответ: \( -3ab^2 c^3 \sqrt[4]{2} \).
6) \( \sqrt[4]{a^{15}b^{15}} = \sqrt[4]{a^{12} a^3 b^{12} b^3} = |a^3| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[4]{a^3 b^3} = a^3 b^3 \sqrt[4]{a^3 b^3} \);
\( a^{15}b^{15} \geq 0 \Rightarrow ab \geq 0; \)
Ответ: \( a^3 b^3 \sqrt[4]{a^3 b^3} \).
7) \( \sqrt[8]{a^{25}b^{50}} = \sqrt[8]{-a \cdot a^{24} \cdot b^{48} \cdot b^2}=\)
\(= \sqrt[8]{-ab^2 \cdot a^{8 \cdot 3} \cdot b^{8 \cdot 6}} = |a^3| \cdot |b^6| \cdot \sqrt[8]{-ab^2} = -a^3 b^6 \sqrt[8]{-ab^2} \);
\( -a^{25} b^{50} \geq 0 \Rightarrow a^{25} \leq 0 \Rightarrow a \leq 0; \)
Ответ: \( -a^3 b^6 \sqrt[8]{-ab^2} \).
1) \( \sqrt[4]{-m^9} \):
Преобразуем подкоренное выражение: \( -m^9 = (-m) \cdot m^8 \), а \( m^8 = (m^2)^4 \).
Тогда: \( \sqrt[4]{-m^9} = \sqrt[4]{-m \cdot m^8} = \sqrt[4]{-m} \cdot \sqrt[4]{m^8} \).
Поскольку \( m^8 = (m^2)^4 \), \( \sqrt[4]{m^8} = |m^2| \). Если \( m \leq 0 \), то \( |m^2| = m^2 \).
Окончательно: \( \sqrt[4]{-m^9} = m^2 \sqrt[4]{-m} \).
Условие существования: \( -m^9 \geq 0 \rightarrow -m \geq 0 \rightarrow m \leq 0 \).
Ответ: \( m^2 \cdot \sqrt[4]{-m} \).
2) \( \sqrt[4]{a^8 b^{13}}, \) если \( a > 0 \):
Разложим показатели степеней так, чтобы вынести множители:
\( a^8 = (a^2)^4 \), \( b^{13} = (b^3)^4 \cdot b \).
Тогда: \( \sqrt[4]{a^8 b^{13}} = \sqrt[4]{a^8} \cdot \sqrt[4]{b^{12}} \cdot \sqrt[4]{b} = a^2 b^3 \sqrt[4]{b} \).
Условие существования: \( a^8 b^{13} \geq 0 \rightarrow b^{13} \geq 0 \rightarrow b \geq 0 \).
Ответ: \( a^2 b^3 \sqrt[4]{b} \).
3) \( \sqrt[6]{x^6 y^7}, \) если \( x \neq 0 \):
Преобразуем выражение: \( x^6 y^7 = (x^6)(y^6)y \), \( \sqrt[6]{x^6 y^7} = \sqrt[6]{x^6} \cdot \sqrt[6]{y^6} \cdot \sqrt[6]{y} \).
\( \sqrt[6]{x^6} = |x| \), \( \sqrt[6]{y^6} = |y| \).
Значит, \( \sqrt[6]{x^6 y^7} = |x| \cdot |y| \cdot \sqrt[6]{y} = |x| y \sqrt[6]{y} \) (так как \( y \geq 0 \)).
Условие: \( x^6 y^7 \geq 0 \rightarrow y^7 \geq 0 \rightarrow y \geq 0 \).
Ответ: \( |x| y \sqrt[6]{y} \).
4) \( \sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} \):
\( 32 = 16 \cdot 2 \), \( m^{18} = (m^4)^4 \cdot m^2 \), \( n^{17} = (n^4)^4 \cdot n \).
Тогда: \( \sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} = \sqrt[4]{16 \cdot m^{16} \cdot m^2 \cdot n^{16} \cdot n} \).
\( \sqrt[4]{16} = 2 \), \( \sqrt[4]{m^{16}} = m^4 \), \( \sqrt[4]{n^{16}} = n^4 \), оставшееся под корнем: \( \sqrt[4]{2m^2 n} \).
В результате: \( \sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} = 2m^4 n^4 \sqrt[4]{2m^2 n} \).
Условие: \( 32m^{18}n^{17} \geq 0 \rightarrow n^{17} \geq 0 \rightarrow n \geq 0 \).
Ответ: \( 2m^4 n^4 \sqrt[4]{2m^2 n} \).
5) \( \sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}}, \) если \( a > 0, c < 0 \):
\( 162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2 \), \( a^4 \), \( b^8 = (b^2)^4 \), \( c^{12} = (c^3)^4 \).
Тогда: \( \sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}} = \sqrt[4]{3^4 a^4 b^{4 \cdot 2} c^{4 \cdot 3} \cdot 2} \).
Вынесем из-под корня: \( 3 |a| |b^2| |c^3| \sqrt[4]{2} \).
Поскольку \( c < 0 \), то \( |c^3| = -c^3 \), значит:
\( 3ab^2(-c^3)\sqrt[4]{2} = -3ab^2c^3\sqrt[4]{2} \).
Ответ: \( -3ab^2c^3 \sqrt[4]{2} \).
6) \( \sqrt[4]{a^{15}b^{15}} \):
\( a^{15} = (a^3)^4 a^3 \), \( b^{15} = (b^3)^4 b^3 \).
Тогда: \( \sqrt[4]{a^{15}b^{15}} = |a^3| |b^3| \sqrt[4]{a^3 b^3} = a^3 b^3 \sqrt[4]{a^3 b^3} \).
Условие: \( a^{15}b^{15} \geq 0 \rightarrow ab \geq 0 \).
Ответ: \( a^3 b^3 \sqrt[4]{a^3 b^3} \).
7) \( \sqrt[8]{a^{25}b^{50}} \):
\( a^{25} = -a \cdot a^{24} \), \( b^{50} = b^{48} \cdot b^2 \), \( a^{24} = (a^3)^8 \), \( b^{48} = (b^6)^8 \).
То есть: \( \sqrt[8]{a^{25}b^{50}} = \sqrt[8]{-a \cdot (a^3)^8 \cdot (b^6)^8 \cdot b^2} = |a^3| |b^6| \sqrt[8]{-ab^2} \).
С учетом знака: \( |a^3| = -a^3 \) (при \( a \leq 0 \)), \( |b^6| = b^6 \), получаем \( -a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2} \).
Условие: \( -a^{25} b^{50} \geq 0 \rightarrow a^{25} \leq 0 \rightarrow a \leq 0 \).
Ответ: \( -a^3 b^6 \sqrt[8]{-ab^2} \).
