ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.40 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вынесите множитель из-под знака корня:

1) \( \sqrt[4]{32a^6}, \) если \( a \leq 0; \)

2) \( \sqrt[4]{-625a^5}; \)

3) \( \sqrt[6]{a^7b^7}, \) если \( a < 0, b < 0; \)

4) \( \sqrt[6]{a^{20}b^{19}}, \) если \( a > 0. \)

1) \( \sqrt[4]{32a^6}, \) если \( a \leq 0; \)

\( \sqrt[4]{32a^6} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{2^4 \cdot a^4 \cdot 2a^2} = 2|a| \cdot \sqrt[4]{2a^2} = -2a \cdot \sqrt[4]{2a^2}; \)

Ответ: \( -2a \cdot \sqrt[4]{2a^2} \).

2) \( \sqrt[4]{-625a^5} = \sqrt[4]{-a \cdot 625 \cdot a^4} = \sqrt[4]{-a \cdot 5^4 \cdot a^4} = 5|a| \cdot \sqrt[4]{-a} = -5a \cdot \sqrt[4]{-a}; \)

\(-625a^5 \geq 0 \Rightarrow a^5 \leq 0 \Rightarrow a \leq 0;\)

Ответ: \( -5a \cdot \sqrt[4]{-a} \).

3) \( \sqrt[6]{a^7b^7}, \) если \( a < 0, b < 0; \)

\( \sqrt[6]{a^7b^7} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a \cdot b^6 \cdot b} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[6]{ab} = ab \sqrt[6]{ab}; \)

Условие: \( a^7b^7 \geq 0 \Rightarrow ab \geq 0; \)

Ответ: \( ab \sqrt[6]{ab} \).

4) \( \sqrt[6]{a^{20}b^{19}}, \) если \( a > 0; \)

\( \sqrt[6]{a^{20}b^{19}} = \sqrt[6]{a^{18} \cdot a^2 \cdot b^{18} \cdot b}=\)

\(= \sqrt[6]{(a^3)^6 \cdot (b^3)^6 \cdot a^2b} = |a^3| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[6]{a^2b} = a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}; \)

Условие: \( a^{20}b^{19} \geq 0 \Rightarrow b^{19} \geq 0 \Rightarrow b \geq 0; \)

Ответ: \( a^3b^3\cdot\sqrt[6]{a^2b} \).

Вынести множитель из-под знака корня

1. Рассмотрим выражение:\[
   \sqrt[4]{32 a^6}, \quad \text{если } a \leq 0
   \]

   Разложим подкоренное выражение на множители:

   \[
   32 a^6 = 16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2
   \]

   Преобразуем корень:

   \[
   \sqrt[4]{32 a^6} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{2 a^2}
   \]

   Извлекаем из-под корня:

   \[
   \sqrt[4]{16} = 2, \quad \sqrt[4]{a^4} = |a|
   \]

   Так как \(a \leq 0\), то \(|a| = -a\). Следовательно:

   \[
   \sqrt[4]{32 a^6} = 2 |a| \cdot \sqrt[4]{2 a^2} = 2 (-a) \cdot \sqrt[4]{2 a^2} = -2 a \cdot \sqrt[4]{2 a^2}
   \]

   Область определения: Для корня четвёртой степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   \[
   32 a^6 \geq 0
   \]

   Поскольку \(a^6 \geq 0\) для всех \(a\), а 32 положительно, условие выполняется всегда. Однако в условии задано \(a \leq 0\), что влияет на знак вынесённого множителя.

   Ответ: \(-2 a \cdot \sqrt[4]{2 a^2}\).

2. Рассмотрим выражение:\[
   \sqrt[4]{-625 a^5}
   \]

   Разложим подкоренное выражение:

   \[
   -625 a^5 = -a \cdot 625 \cdot a^4 = -a \cdot 5^4 \cdot a^4
   \]

   Преобразуем корень:

   \[
   \sqrt[4]{-625 a^5} = \sqrt[4]{-a \cdot 5^4 \cdot a^4} = 5 |a| \cdot \sqrt[4]{-a}
   \]

   Так как \(a \leq 0\), то \(|a| = -a\). Следовательно:

   \[
   \sqrt[4]{-625 a^5} = 5 (-a) \cdot \sqrt[4]{-a} = -5 a \cdot \sqrt[4]{-a}
   \]

   Область определения:

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   Ответ: \(-5 a \cdot \sqrt[4]{-a}\).

3. Рассмотрим корень шестой степени:\[
   \sqrt[6]{a^7 b^7}, \quad \text{если } a < 0, b < 0
   \]

   Разложим подкоренное выражение:

   \[
   a^7 b^7 = a^6 \cdot a \cdot b^6 \cdot b
   \]

   Преобразуем корень:

   \[
   \sqrt[6]{a^7 b^7} = \sqrt[6]{a^6 \cdot b^6 \cdot a b} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[6]{a b}
   \]

   Так как \(a < 0\) и \(b < 0\), то \(|a| = -a\), \(|b| = -b\), но произведение \(ab > 0\) (так как произведение двух отрицательных чисел положительно), следовательно:

   \[
   |a| \cdot |b| = (-a)(-b) = ab
   \]

   Итог:

   \[
   \sqrt[6]{a^7 b^7} = ab \cdot \sqrt[6]{ab}
   \]

   Область определения:

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   Это условие выполняется, так как \(a < 0\), \(b < 0\), и произведение положительно.

   Ответ: \(ab \cdot \sqrt[6]{ab}\).

4. Рассмотрим корень шестой степени:\[
   \sqrt[6]{a^{20} b^{19}}, \quad \text{если } a > 0
   \]

   Разложим степени под корнем:

   \[
   a^{20} b^{19} = a^{18} \cdot a^2 \cdot b^{18} \cdot b = (a^6)^3 \cdot a^2 \cdot (b^6)^3 \cdot b
   \]

   Преобразуем корень:

   \[
   \sqrt[6]{a^{20} b^{19}} = \sqrt[6]{a^{18} b^{18} \cdot a^2 b} = |a^3| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[6]{a^2 b} = a^3 b^3 \cdot \sqrt[6]{a^2 b}
   \]

   Поскольку \(a > 0\), то \(|a^3| = a^3\). Для \(b\) необходимо проверить знак.

   Область определения:

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   Ответ: \(a^3 b^3 \cdot \sqrt[6]{a^2 b}\).