Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.40 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Вынесите множитель из-под знака корня:
1) \( \sqrt[4]{32a^6}, \) если \( a \leq 0; \)
2) \( \sqrt[4]{-625a^5}; \)
3) \( \sqrt[6]{a^7b^7}, \) если \( a < 0, b < 0; \)
4) \( \sqrt[6]{a^{20}b^{19}}, \) если \( a > 0. \)
1) \( \sqrt[4]{32a^6}, \) если \( a \leq 0; \)
\( \sqrt[4]{32a^6} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{2^4 \cdot a^4 \cdot 2a^2} = 2|a| \cdot \sqrt[4]{2a^2} = -2a \cdot \sqrt[4]{2a^2}; \)
Ответ: \( -2a \cdot \sqrt[4]{2a^2} \).
2) \( \sqrt[4]{-625a^5} = \sqrt[4]{-a \cdot 625 \cdot a^4} = \sqrt[4]{-a \cdot 5^4 \cdot a^4} = 5|a| \cdot \sqrt[4]{-a} = -5a \cdot \sqrt[4]{-a}; \)
\(-625a^5 \geq 0 \Rightarrow a^5 \leq 0 \Rightarrow a \leq 0;\)
Ответ: \( -5a \cdot \sqrt[4]{-a} \).
3) \( \sqrt[6]{a^7b^7}, \) если \( a < 0, b < 0; \)
\( \sqrt[6]{a^7b^7} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a \cdot b^6 \cdot b} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[6]{ab} = ab \sqrt[6]{ab}; \)
Условие: \( a^7b^7 \geq 0 \Rightarrow ab \geq 0; \)
Ответ: \( ab \sqrt[6]{ab} \).
4) \( \sqrt[6]{a^{20}b^{19}}, \) если \( a > 0; \)
\( \sqrt[6]{a^{20}b^{19}} = \sqrt[6]{a^{18} \cdot a^2 \cdot b^{18} \cdot b}=\)
\(= \sqrt[6]{(a^3)^6 \cdot (b^3)^6 \cdot a^2b} = |a^3| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[6]{a^2b} = a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}; \)
Условие: \( a^{20}b^{19} \geq 0 \Rightarrow b^{19} \geq 0 \Rightarrow b \geq 0; \)
Ответ: \( a^3b^3\cdot\sqrt[6]{a^2b} \).
Вынести множитель из-под знака корня
- Рассмотрим выражение:\[
\sqrt[4]{32 a^6}, \quad \text{если } a \leq 0
\]Разложим подкоренное выражение на множители:
\[
32 a^6 = 16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2
\]Преобразуем корень:
\[
\sqrt[4]{32 a^6} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{2 a^2}
\]Извлекаем из-под корня:
\[
\sqrt[4]{16} = 2, \quad \sqrt[4]{a^4} = |a|
\]Так как \(a \leq 0\), то \(|a| = -a\). Следовательно:
\[
\sqrt[4]{32 a^6} = 2 |a| \cdot \sqrt[4]{2 a^2} = 2 (-a) \cdot \sqrt[4]{2 a^2} = -2 a \cdot \sqrt[4]{2 a^2}
\]Область определения: Для корня четвёртой степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
32 a^6 \geq 0
\]Поскольку \(a^6 \geq 0\) для всех \(a\), а 32 положительно, условие выполняется всегда. Однако в условии задано \(a \leq 0\), что влияет на знак вынесённого множителя.
Ответ: \(-2 a \cdot \sqrt[4]{2 a^2}\).
- Рассмотрим выражение:\[
\sqrt[4]{-625 a^5}
\]Разложим подкоренное выражение:
\[
-625 a^5 = -a \cdot 625 \cdot a^4 = -a \cdot 5^4 \cdot a^4
\]Преобразуем корень:
\[
\sqrt[4]{-625 a^5} = \sqrt[4]{-a \cdot 5^4 \cdot a^4} = 5 |a| \cdot \sqrt[4]{-a}
\]Так как \(a \leq 0\), то \(|a| = -a\). Следовательно:
\[
\sqrt[4]{-625 a^5} = 5 (-a) \cdot \sqrt[4]{-a} = -5 a \cdot \sqrt[4]{-a}
\]Область определения:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Ответ: \(-5 a \cdot \sqrt[4]{-a}\).
- Рассмотрим корень шестой степени:\[
\sqrt[6]{a^7 b^7}, \quad \text{если } a < 0, b < 0
\]Разложим подкоренное выражение:
\[
a^7 b^7 = a^6 \cdot a \cdot b^6 \cdot b
\]Преобразуем корень:
\[
\sqrt[6]{a^7 b^7} = \sqrt[6]{a^6 \cdot b^6 \cdot a b} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[6]{a b}
\]Так как \(a < 0\) и \(b < 0\), то \(|a| = -a\), \(|b| = -b\), но произведение \(ab > 0\) (так как произведение двух отрицательных чисел положительно), следовательно:
\[
|a| \cdot |b| = (-a)(-b) = ab
\]Итог:
\[
\sqrt[6]{a^7 b^7} = ab \cdot \sqrt[6]{ab}
\]Область определения:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Это условие выполняется, так как \(a < 0\), \(b < 0\), и произведение положительно.
Ответ: \(ab \cdot \sqrt[6]{ab}\).
- Рассмотрим корень шестой степени:\[
\sqrt[6]{a^{20} b^{19}}, \quad \text{если } a > 0
\]Разложим степени под корнем:
\[
a^{20} b^{19} = a^{18} \cdot a^2 \cdot b^{18} \cdot b = (a^6)^3 \cdot a^2 \cdot (b^6)^3 \cdot b
\]Преобразуем корень:
\[
\sqrt[6]{a^{20} b^{19}} = \sqrt[6]{a^{18} b^{18} \cdot a^2 b} = |a^3| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[6]{a^2 b} = a^3 b^3 \cdot \sqrt[6]{a^2 b}
\]Поскольку \(a > 0\), то \(|a^3| = a^3\). Для \(b\) необходимо проверить знак.
Область определения:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Ответ: \(a^3 b^3 \cdot \sqrt[6]{a^2 b}\).
