ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.41 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Внесите множитель под знак корня:

1) \(a \sqrt[4]{2}, \) если \( a \geq 0; \)

2) \( ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3 b^2}}, \) если \( b < 0; \)

3) \( mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3 n^3}}; \)

4) \( \sqrt[6]{6}; \)

5) \(\sqrt[6]{-a}; \)

6) \(ab \sqrt[4]{ab^2},\quad \text{если } b \leq 0 \)

Внести множитель под знак корня:

1. \[
   a \sqrt[4]{2}, \quad \text{если } a \geq 0;
   \]\[
   a \sqrt[4]{2} = |a| \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2 a^4};
   \]

   Ответ: \(\sqrt[4]{2 a^4}\).

2. \[
   ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3 b^2}}, \quad \text{если } b < 0;
   \]\[
   ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3 b^2}} = -|b| \cdot |a| \cdot \sqrt[6]{\frac{6}{a^3 b^2}} = — \sqrt[6]{\frac{6 \cdot b^6 \cdot a^6}{a^3 \cdot b^2}} = — \sqrt[6]{6 a^3 b^4};
   \]

   Ответ: \(- \sqrt[6]{6 a^3 b^4}\).

3. \[
   mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3 n^3}} = |m| \cdot |n| \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{m^3 n^3}} = \sqrt[4]{\frac{m^4 \cdot n^4}{m^3 n^3}} = \sqrt[4]{mn};
   \]Ответ: \(\sqrt[4]{mn}\).
4. \[
   b \sqrt[6]{6} = |b| \cdot \sqrt[6]{6} = \frac{|b|}{b} \cdot b \cdot \sqrt[6]{6} = \frac{|b|}{b} \cdot \sqrt[6]{6 b^6};
   \]Ответ:

   \[
   \begin{cases}
   \sqrt[6]{6 b^6}, & \text{если } b \geq 0 \\
   -\sqrt[6]{6 b^6}, & \text{если } b < 0
   \end{cases}
   \]

5. \[
   a \sqrt[6]{-a} = -|a| \cdot \sqrt[6]{-a} = — \sqrt[6]{a^6 \cdot (-a)} = — \sqrt[6]{-a^7};
   \]Ответ: \(- \sqrt[6]{-a^7}\).
6. \[
   ab \sqrt[4]{ab^2}, \quad \text{если } b \leq 0;
   \]\[
   ab \sqrt[4]{ab^2} = |b| \cdot |a| \cdot \sqrt[4]{ab^2} = — \sqrt[4]{b^4 \cdot a^4 \cdot ab^2} = — \sqrt[4]{a^5 b^6};
   \]

   Ответ: \(- \sqrt[4]{a^5 b^6}\).

Внести множитель под знак корня (подробное решение):

1. Рассмотрим выражение:\[
   a \sqrt[4]{2}, \quad \text{если } a \geq 0;
   \]

   Так как \(a \geq 0\), то \(|a| = a\). Перепишем выражение, используя модуль:

   \[
   a \sqrt[4]{2} = |a| \sqrt[4]{2}
   \]

   Теперь вспомним свойство корня четвёртой степени:

   \[
   |a| = \sqrt[4]{a^4}
   \]

   Подставляя это в исходное выражение, получаем:

   \[
   a \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2 a^4}
   \]

   Ответ: \(\sqrt[4]{2 a^4}\).

2. Рассмотрим выражение:\[
   ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3 b^2}}, \quad \text{если } b < 0;
   \]

   Первое, что сделаем — перепишем множитель \(ab\) через модули, учитывая знак \(b\):

   \[
   ab = -|b| \cdot |a|
   \]

   Подкоренное выражение преобразуем так:

   \[
   \sqrt[6]{\frac{6}{a^3 b^2}} = \sqrt[6]{\frac{6 \cdot b^6 \cdot a^6}{a^3 \cdot b^2 \cdot b^6 \cdot a^6}} = \sqrt[6]{\frac{6 b^6 a^6}{a^3 b^2}} = \sqrt[6]{6 a^3 b^4}
   \]

   Таким образом, исходное выражение примет вид:

   \[
   ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3 b^2}} = -|b| \cdot |a| \cdot \sqrt[6]{\frac{6}{a^3 b^2}} = — \sqrt[6]{6 a^3 b^4}
   \]

   Проверим область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   Ответ: \(- \sqrt[6]{6 a^3 b^4}\).

3. Рассмотрим выражение:\[
   mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3 n^3}}
   \]

   Вынесем множители через модули:

   \[
   mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3 n^3}} = |m| \cdot |n| \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{m^3 n^3}}
   \]

   Используя свойства корней, преобразуем подкоренное выражение:

   \[
   \sqrt[4]{\frac{1}{m^3 n^3}} = \sqrt[4]{\frac{m^4 n^4}{m^3 n^3} \cdot \frac{1}{m^4 n^4}} = \frac{\sqrt[4]{m^4 n^4}}{\sqrt[4]{m^3 n^3}} = \frac{|m| \cdot |n|}{\sqrt[4]{m^3 n^3}}
   \]

   Но проще записать так:

   \[
   mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3 n^3}} = \sqrt[4]{\frac{m^4 n^4}{m^3 n^3}} = \sqrt[4]{m n}
   \]

   Область определения:

   Ответ: \(\sqrt[4]{mn}\).

4. Рассмотрим выражение:\[
   b \sqrt[6]{6}
   \]

   Вынесем множитель через модуль:

   \[
   b \sqrt[6]{6} = |b| \cdot \sqrt[6]{6} = \frac{|b|}{b} \cdot b \cdot \sqrt[6]{6} = \frac{|b|}{b} \cdot \sqrt[6]{6 b^6}
   \]

   Учитывая знак \(b\), получаем два случая:

   \[
   \begin{cases}
   \sqrt[6]{6 b^6}, & \text{если } b \geq 0 \\
   -\sqrt[6]{6 b^6}, & \text{если } b < 0
   \end{cases}
   \]

   Ответ: \(\sqrt[6]{6 b^6}\) при \(b \geq 0\), и \(-\sqrt[6]{6 b^6}\) при \(b < 0\).

5. Рассмотрим выражение:\[
   a \sqrt[6]{-a}
   \]

   Вынесем множитель через модуль, учитывая знак \(a\):

   \[
   a \sqrt[6]{-a} = -|a| \cdot \sqrt[6]{-a} = — \sqrt[6]{a^6 \cdot (-a)} = — \sqrt[6]{-a^7}
   \]

   Область определения:

   Ответ: \(- \sqrt[6]{-a^7}\).

6. Рассмотрим выражение:\[
   ab \sqrt[4]{ab^2}, \quad \text{если } b \leq 0;
   \]

   Вынесем множители через модули, учитывая знак \(b\):

   \[
   ab \sqrt[4]{ab^2} = |b| \cdot |a| \cdot \sqrt[4]{ab^2} = — \sqrt[4]{b^4 \cdot a^4 \cdot ab^2} = — \sqrt[4]{a^5 b^6}
   \]

   Область определения:

   Ответ: \(- \sqrt[4]{a^5 b^6}\).