ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.43 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( \sqrt[3]{\sqrt{10} — 3} \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}; \)

2) \( \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 — 4\sqrt{2}}. \)

Найти значение выражения:

1. \[
   \sqrt[3]{\sqrt{10} — 3} \cdot \sqrt[6]{19 + 6 \sqrt{10}} = \sqrt[3]{\sqrt{10} — 3} \cdot \sqrt[6]{10 + 6 \sqrt{10} + 9} =
   \]\[
   = \sqrt[3]{\sqrt{10} — 3} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{10} + 3)^2} = \sqrt[3]{\sqrt{10} — 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{10} + 3} =
   \]

   \[
   = \sqrt[3]{(\sqrt{10} — 3)(\sqrt{10} + 3)} = \sqrt[3]{10 — 9} = \sqrt[3]{1} = 1;
   \]

   Ответ: 1.

2. \[
   \sqrt[4]{4 + 2 \sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 — 4 \sqrt{2}} = \sqrt[4]{(4 + 2 \sqrt{2})^2} \cdot \sqrt[4]{6 — 4 \sqrt{2}} =
   \]\[
   = \sqrt[4]{16 + 16 \sqrt{2} + 8} \cdot \sqrt[4]{6 — 4 \sqrt{2}} = \sqrt[4]{(24 + 16 \sqrt{2})(6 — 4 \sqrt{2})} =
   \]

   \[
   = \sqrt[4]{4 (6 + 4 \sqrt{2})(6 — 4 \sqrt{2})} = \sqrt[4]{4 (36 — 32)} = \sqrt[4]{4 \cdot 4} = \sqrt[4]{16} = 2;
   \]

   Ответ: 2.

Найти значение выражения:

1. Рассмотрим первое выражение:\[
   \sqrt[3]{\sqrt{10} — 3} \cdot \sqrt[6]{19 + 6 \sqrt{10}}
   \]

   Обратим внимание, что подкоренное выражение во втором корне можно преобразовать:

   \[
   19 + 6 \sqrt{10} = 10 + 9 + 6 \sqrt{10} = (\sqrt{10} + 3)^2
   \]

   Тогда:

   \[\sqrt[6]{19 + 6 \sqrt{10}} = \sqrt[6]{(\sqrt{10} + 3)^2} = \left( (\sqrt{10} + 3)^2 \right)^{\frac{1}{6}}=\]

   \[= (\sqrt{10} + 3)^{\frac{2}{6}} = (\sqrt{10} + 3)^{\frac{1}{3}}\]

   Таким образом выражение принимает вид:

   \[\sqrt[3]{\sqrt{10} — 3} \cdot (\sqrt{10} + 3)^{\frac{1}{3}}=\]

   \[= \sqrt[3]{(\sqrt{10} — 3)(\sqrt{10} + 3)} = \sqrt[3]{10 — 9} = \sqrt[3]{1} = 1\]

   Итог: значение выражения равно 1.

2. Рассмотрим второе выражение:\[
   \sqrt[4]{4 + 2 \sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 — 4 \sqrt{2}}
   \]

   Для удобства возьмем каждую часть под корнем в квадрат:

   \[
   (4 + 2 \sqrt{2})^2 = 16 + 16 \sqrt{2} + 8 = 24 + 16 \sqrt{2}
   \]

   Теперь исходное выражение можно переписать как:

   \[
   \sqrt[4]{(4 + 2 \sqrt{2})^2} \cdot \sqrt[4]{6 — 4 \sqrt{2}} = \sqrt[4]{(24 + 16 \sqrt{2})(6 — 4 \sqrt{2})}
   \]

   Выполним умножение подкоренных выражений:

   \[(24 + 16 \sqrt{2})(6 — 4 \sqrt{2}) = 24 \cdot 6 + 24 \cdot (-4 \sqrt{2})+\]

   \[+ 16 \sqrt{2} \cdot 6 + 16 \sqrt{2} \cdot (-4 \sqrt{2})=\]

   \[= 144 — 96 \sqrt{2} + 96 \sqrt{2} — 128 = 144 — 128+\]

   \[+ (-96 \sqrt{2} + 96 \sqrt{2}) = 16 + 0 = 16\]

   Таким образом:

   \[
   \sqrt[4]{(24 + 16 \sqrt{2})(6 — 4 \sqrt{2})} = \sqrt[4]{16} = 2
   \]

   Итог: значение выражения равно 2.