ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.44 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( \sqrt[6]{7 — 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}}; \)

2) \( \sqrt{2\sqrt{6} — 1} \cdot \sqrt[4]{25 + 4\sqrt{6}}. \)

Найти значение выражения:

1. \[
   \sqrt[6]{7 — 4 \sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} = \sqrt[6]{4 — 4 \sqrt{3} + 3} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} =
   \]\[
   = \sqrt[6]{(2 — \sqrt{3})^2} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} = \sqrt[3]{2 — \sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} =
   \]\[
   = \sqrt[3]{(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \sqrt[3]{4 — 3} = \sqrt[3]{1} = 1;
   \]

   Ответ: 1.

2. \[
   \sqrt[4]{2 \sqrt{6} — 1} \cdot \sqrt[4]{25 + 4 \sqrt{6}} = \sqrt[4]{(2 \sqrt{6} — 1)^2} \cdot \sqrt[4]{25 + 4 \sqrt{6}} =
   \]\[
   = \sqrt[4]{24 — 4 \sqrt{6} + 1} \cdot \sqrt[4]{25 + 4 \sqrt{6}} = \sqrt[4]{(25 — 4 \sqrt{6})(25 + 4 \sqrt{6})} =
   \]\[
   = \sqrt[4]{625 — 16 \cdot 6} = \sqrt[4]{625 — 96} = \sqrt[4]{529} = \sqrt[2]{\sqrt[2]{23^2}} = \sqrt{23};
   \]

   Ответ: \(\sqrt{23}\).

Подробное решение задачи:

1. Рассмотрим первое выражение:\[
   \sqrt[6]{7 — 4 \sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}}
   \]

   Для удобства перепишем выражение, используя свойства степеней и корней:

   \[
   \sqrt[6]{7 — 4 \sqrt{3}} = \sqrt[6]{4 — 4 \sqrt{3} + 3}
   \]

   Обратим внимание, что \(7 = 4 + 3\), и перепишем подкоренное выражение как сумму квадратов и смешанных членов:

   \[
   7 — 4 \sqrt{3} = (2)^2 — 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 — \sqrt{3})^2
   \]

   Тогда:

   \[
   \sqrt[6]{7 — 4 \sqrt{3}} = \sqrt[6]{(2 — \sqrt{3})^2} = (2 — \sqrt{3})^{\frac{2}{6}} = (2 — \sqrt{3})^{\frac{1}{3}}
   \]

   Теперь выражение принимает вид:

   \[
   (2 — \sqrt{3})^{\frac{1}{3}} \cdot (2 + \sqrt{3})^{\frac{1}{3}} = \left( (2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) \right)^{\frac{1}{3}}
   \]

   Выполним умножение под скобками:

   \[
   (2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 — (\sqrt{3})^2 = 4 — 3 = 1
   \]

   Следовательно:

   \[
   \left( (2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) \right)^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1
   \]

   Итог: значение первого выражения равно 1.

2. Рассмотрим второе выражение:\[
   \sqrt[4]{2 \sqrt{6} — 1} \cdot \sqrt[4]{25 + 4 \sqrt{6}}
   \]

   Для удобства возьмем квадрат первого подкоренного выражения:

   \[(2 \sqrt{6} — 1)^2 = (2 \sqrt{6})^2 — 2 \cdot 2 \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2=\]

   \[= 4 \cdot 6 — 4 \sqrt{6} + 1 = 24 — 4 \sqrt{6} + 1 = 25 — 4 \sqrt{6}\]

   Теперь исходное выражение можно переписать как:

   \[
   \sqrt[4]{(2 \sqrt{6} — 1)^2} \cdot \sqrt[4]{25 + 4 \sqrt{6}} = \sqrt[4]{(25 — 4 \sqrt{6})(25 + 4 \sqrt{6})}
   \]

   Выполним умножение подкоренных выражений:

   \[(25 — 4 \sqrt{6})(25 + 4 \sqrt{6}) = 25^2 — (4 \sqrt{6})^2=\]

   \[= 625 — 16 \cdot 6 = 625 — 96 = 529\]

   Таким образом:

   \[
   \sqrt[4]{529} = \sqrt[4]{23^2} = \sqrt{23}
   \]

   Итог: значение второго выражения равно \(\sqrt{23}\).

Ответы:

• Первое выражение равно: 1.
• Второе выражение равно: \(\sqrt{23}\).